Questão 17. Encontre a equação da linha média de um aerofólio fino que resulta em uma distribuição de carregamento uniforme para uma ângulo de ataque nulo.

Passo 1

O enunciado pede a linha média z(x) de um aerofólio fino tal que, para ângulo de ataque nulo, a distribuição de intensidade de vorticidade \gamma(x) (e portanto de carregamento) seja uniforme ao longo da corda 0\le x\le c. Vamos usar a teoria do aerofólio fino, em que introduzimos a variável angular \theta tal que
x = \frac{c}{2}\bigl(1 - \cos\theta\bigr),\quad 0\le\theta\le\pi,
e vale a relação
\gamma(\theta) = 2\,U\Bigl[\alpha - \frac{dz}{dx}\Bigr]\sin\theta.

Passo 2

Para ângulo de ataque nulo \alpha=0, a condição de distribuição uniforme de \gamma é
\gamma(\theta) = \Gamma_0 \quad(\text{constante}).
Logo
\Gamma_0 = 2\,U\Bigl[0 - \frac{dz}{dx}\Bigr]\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dx} = -\frac{\Gamma_0}{2\,U}\,\frac{1}{\sin\theta}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável x\to\theta. Como
dx = \frac{c}{2}\,\sin\theta\,d\theta,
temos
dz = \frac{dz}{dx}\,dx = -\frac{\Gamma_0}{2\,U}\,\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{c}{2}\,\sin\theta\,d\theta = -\frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\,d\theta.
Integrando em função de \theta,
z(\theta) = -\frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\,\theta + C_1.

Passo 4

Impondo a condição de cauda reta z\text{(c)}=0 em x=c\Rightarrow\theta=\pi, obtém-se
0 = z(\pi) = -\frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\,\pi + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\,\pi.
Portanto
z(\theta) = \frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\,\bigl(\pi - \theta\bigr).

Passo 5

Restituindo em função de x por \theta = \operatorname{arccos}\bigl(1 - 2x/c\bigr), a linha média fica
\boxed{ z(x) = \frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\, \Bigl[\pi - \operatorname{arccos}\!\bigl(1 - \tfrac{2x}{c}\bigr)\Bigr], \quad 0\le x\le c. }

Resposta

z(x) = \frac{\Gamma_0\,c}{4\,U}\, \Bigl[\pi - \operatorname{arccos}\!\bigl(1 - \tfrac{2x}{c}\bigr)\Bigr].

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