Um campo de escoamento tem componentes de velocidade de
e
, onde
e
estão em metros e
está em segundos. Determine as magnitudes das acelerações local e convectiva de uma partícula no ponto
1 m quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento onde temos as componentes de velocidade $ u $ e $ v $ em função de $ x $, $ y $ e $ t $. A gente precisa descobrir as magnitudes das acelerações local e convectiva de uma partícula específica no ponto $ x = 3 , m $, $ y = 1 , m $ quando $ t = 2 , s $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e aceleração em campos de velocidade. Vamos precisar calcular as derivadas das componentes de velocidade em relação ao tempo e ao espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes de velocidade dadas:
Aqui, $ u $ é a componente na direção $ x $ e $ v $ na direção $ y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração local. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, mantendo a posição constante. Isso significa que vamos derivar $ u $ e $ v $ em relação a $ t $:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a aceleração convectiva. Ela leva em conta como a velocidade muda conforme a posição muda, ou seja, depende das derivadas espaciais das componentes de velocidade multiplicadas pelas próprias componentes de velocidade. Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial u}{\partial x} $, $ \frac{\partial u}{\partial y} $, $ \frac{\partial v}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Agora, a aceleração convectiva para $ u $ e $ v $ é:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores dados: $ x = 3 , m $, $ y = 1 , m $, $ t = 2 , s $.
Primeiro, calculamos $ u $ e $ v $ nesses valores:
Agora, calculamos as acelerações local e convectiva:
Passo 6
Agora, para encontrar as magnitudes das acelerações local e convectiva, usamos a fórmula da magnitude do vetor aceleração:
Primeiro, para a aceleração local:
Agora, para a aceleração convectiva:
Resposta
A magnitude da aceleração local é aproximadamente $ 12,81 , m/s^2 $ e a magnitude da aceleração convectiva é $ 141,5 , m/s^2 $.