Um campo de escoamento tem componentes de velocidade de u=(3 x+2 t^2) m / s e v=(2 y^3+10 t) m / s, onde x e y estão em metros e t está em segundos. Determine as magnitudes das acelerações local e convectiva de uma partícula no ponto x=3 m, y= 1 m quando t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um campo de escoamento onde temos as componentes de velocidade $ u $ e $ v $ em função de $ x $, $ y $ e $ t $. A gente precisa descobrir as magnitudes das acelerações local e convectiva de uma partícula específica no ponto $ x = 3 , m $, $ y = 1 , m $ quando $ t = 2 , s $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e aceleração em campos de velocidade. Vamos precisar calcular as derivadas das componentes de velocidade em relação ao tempo e ao espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes de velocidade dadas:
u = 3x + 2t^2 m/s
v = 2y^3 + 10t m/s
Aqui, $ u $ é a componente na direção $ x $ e $ v $ na direção $ y $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração local. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, mantendo a posição constante. Isso significa que vamos derivar $ u $ e $ v $ em relação a $ t $:
u
v

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a aceleração convectiva. Ela leva em conta como a velocidade muda conforme a posição muda, ou seja, depende das derivadas espaciais das componentes de velocidade multiplicadas pelas próprias componentes de velocidade. Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial u}{\partial x} $, $ \frac{\partial u}{\partial y} $, $ \frac{\partial v}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial upartial x
partial upartial y
partial vpartial x
partial vpartial y
Agora, a aceleração convectiva para $ u $ e $ v $ é:
partial upartial x = partialpartial x(3x + 2t^2) = 3
partial upartial y = partialpartial y(3x + 2t^2) = 0

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados: $ x = 3 , m $, $ y = 1 , m $, $ t = 2 , s $.
Primeiro, calculamos $ u $ e $ v $ nesses valores:
x = 3 , m
y = 1 , m
Agora, calculamos as acelerações local e convectiva:
t = 2 , s
u
v
u = 3(3) + 2(2)^2 = 9 + 8 = 17 , m/s

Passo 6

Agora, para encontrar as magnitudes das acelerações local e convectiva, usamos a fórmula da magnitude do vetor aceleração:
|a| = raizau^2 + av^2
Primeiro, para a aceleração local:
|alocal| = raiz(8)^2 + (10)^2 = raiz64 + 100 = raiz164 approx 12,81 , m/s^2
Agora, para a aceleração convectiva:
|aconvectiva| = raiz(51)^2 + (132)^2 = raiz2601 + 17424 = raiz20025 = 141,5 , m/s^2

Resposta

A magnitude da aceleração local é aproximadamente $ 12,81 , m/s^2 $ e a magnitude da aceleração convectiva é $ 141,5 , m/s^2 $.

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