Considere as afirmativas abaixo:
I - Se P: R^43 R^43 possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 19 e 24 respectivamente, então P é diagonalizável.
II - Se S: R^65 R^65 possui 65 autovalores reais distintos, então S é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre diagonalização de matrizes e autovalores. Precisamos entender quando uma matriz é diagonalizável olhando para os autovalores dela. Vamos analisar as duas afirmações para ver quais são verdadeiras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que . Isso acontece quando a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de é igual à dimensão da matriz.

Passo 3

Vamos analisar a Afirmação I:
  • Afirmação I: Se possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 19 e 24 respectivamente, então é diagonalizável.
Aqui, temos dois autovalores com multiplicidades geométricas que somam , que é igual à dimensão da matriz. Como a soma das multiplicidades geométricas cobre toda a dimensão, isso significa que pode ser diagonalizada. Portanto, a Afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para a Afirmação II:
  • Afirmação II: Se possui 65 autovalores reais distintos, então é diagonalizável.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, cada um terá pelo menos uma multiplicidade geométrica igual a 1. No caso de 65 autovalores distintos, a soma das multiplicidades geométricas será , que novamente é igual à dimensão da matriz. Isso garante que a matriz é diagonalizável. Logo, a Afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A resposta correta é a opção © Todas são verdadeiras.

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