Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 19 e 24 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
possui 65 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre diagonalização de matrizes e autovalores. Precisamos entender quando uma matriz é diagonalizável olhando para os autovalores dela. Vamos analisar as duas afirmações para ver quais são verdadeiras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tal que
. Isso acontece quando a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de
é igual à dimensão da matriz.
Passo 3
Vamos analisar a Afirmação I:
- Afirmação I: Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidades geométricas 19 e 24 respectivamente, então é diagonalizável.
Aqui, temos dois autovalores com multiplicidades geométricas que somam
, que é igual à dimensão da matriz. Como a soma das multiplicidades geométricas cobre toda a dimensão, isso significa que
pode ser diagonalizada. Portanto, a Afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para a Afirmação II:
- Afirmação II: Se
possui 65 autovalores reais distintos, então é diagonalizável.
Quando uma matriz tem autovalores distintos, cada um terá pelo menos uma multiplicidade geométrica igual a 1. No caso de 65 autovalores distintos, a soma das multiplicidades geométricas será
, que novamente é igual à dimensão da matriz. Isso garante que a matriz
é diagonalizável. Logo, a Afirmação II também é verdadeira.
Resposta
A resposta correta é a opção © Todas são verdadeiras.