Considere a sequência formada pela lei de recorrência xn+2=-3 xn+283 xn+1, n=1,2,3, ldots. Se x1=6, para que valor de x2 temos lim n infty xn=0 ?
Dica: defina vn=[cn infty xn xn+1] e note que
vn+1=[rr 0 & 1 -3 & 28 / 3 ] vn para n=1,2,3, ldots
Portanto vn+1=[rr0 & 1 -3 & 28 / 3]^n v1.
(A) 5
(B) 6
© 4
(D) 8
(E) 3
(F) 7
(G) 2
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por uma lei de recorrência: para . Sabemos que e precisamos descobrir qual valor de faz com que o limite da sequência, quando vai para o infinito, seja zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes e limites de sequências lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a recorrência em termos de vetores e matrizes. Definimos um vetor xn xn+1 . A partir da relação dada, podemos escrever:
vn+1 = 0 & 1 -3 & 283 vn
Isso significa que cada próximo vetor é obtido multiplicando uma matriz pela atual .

Passo 3

Para que A = 0 & 1 -3 & 283 , precisamos que os autovalores dessa matriz tenham módulo menor que 1. Então, vamos calcular os autovalores da matriz:
lambda^2 - 283 lambda + 3 = 0
O polinômio característico de é dado por:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 283 pm raiz(283)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 = 283 pm raiz7849 - 122 = 283 pm raiz784 - 10892 = 283 pm raiz67692
lambda = 283 pm 2632
Então, temos dois autovalores:
lambda1 = 283 + 2632 = 5432 = 182 = 9
lambda2 = 283 - 2632 = 232 = 13

Passo 5

Para o limite da sequência ser zero, todos os componentes da solução devem tender a zero. Porém, notamos que um dos autovalores é , que é maior que 1. Isso significa que, a menos que o coeficiente associado a esse autovalor seja zero, a sequência não vai tender a zero.

Passo 6

A solução geral da recorrência pode ser escrita como:
xn = C1 (9)^n + C2 ( 13 )^n
Para que , o termo com deve desaparecer, ou seja, .

Passo 7

Vamos usar as condições iniciais para encontrar x1 = C1 (9)^1 + C2 ( 13 )^1 = 6 Rightarrow 9C1 + 13C2 = 6 e x2 = C1 (9)^2 + C2 ( 13 )^2 = C1 (81) + C2 ( 19 ) . Temos:
Para 0 + 13C2 = 6 Rightarrow C2 = 18 :
x2 = 0 + 18 cdot 19 = 2
Para :
Como queremos , substituímos na primeira equação:
Então, para :

Resposta

O valor de que faz com que é 2.

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