Sabemos que existe P inversivel tal que:
[rrr -5 & -7 & -2 2 & 4 & 2 2 & 1 & -1 ]=P[rrr -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b ] P^-1 com a
A 3a coluna da matriz P é múltipla de:
(A) [l4 * 1]
(B) [l4 0 4]
© [l4 * 3]
(D) [l4 * 2]
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A = P -3 & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & b P^-1 que é similar a uma matriz diagonal, ou seja, existe uma matriz inversível tal que:
Nos pedem para descobrir qual é a terceira coluna da matriz . Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, já que a matriz é formada pelos autovetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Sabemos que a matriz diagonalizada tem os autovalores na diagonal, ou seja, A - lambda I = -5 - lambda & -7 & -2 2 & 4 - lambda & 2 2 & 1 & -1 - lambda , e . Mas para confirmar, vamos calcular o determinante de e resolver para :
Onde:
Calculando o determinante, confirmamos que é realmente um dos autovalores.

Passo 3

Sabendo que é um autovalor, precisamos encontrar os outros dois autovalores e . Sabemos que , então vamos resolver o polinômio característico para encontrar seus valores. Depois de resolver, descobrimos que os autovalores são , , e , sendo e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor A - 5I = -5 - 5 & -7 & -2 2 & 4 - 5 & 2 2 & 1 & -1 - 5 = -10 & -7 & -2 2 & -1 & 2 2 & 1 & -6 . Para isso, resolvemos 4 0 1:
Resolvendo o sistema, encontramos que o autovetor pode ser escrito como múltiplo de .

Resposta

A terceira coluna da matriz 4 0 1 é múltipla de . Portanto, a resposta correta é a opção A).

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