Considere as afirmativas abaixo:
I - Se B A=A D, D diagonal e A n \times n com Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então B é diagonalizável.
II - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo y é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas, escolhendo entre as alternativas (A)–(D). As afirmativas são:
I - Se B A = A D, com D diagonal e An\times n com Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}, então B é diagonalizável.
II - Toda rotação em \mathbb{R}^{3} em torno do eixo y é diagonalizável.
Informações dadas que vamos usar:
A igualdade matricial B A = A D.
D é uma matriz diagonal.
A é n\times n e tem núcleo \{\overrightarrow{0}\} (ou seja, o único vetor que A envia para \overrightarrow{0} é \overrightarrow{0} mesmo).
Queremos saber se cada afirmativa implica que a matriz mencionada é diagonalizável (no sentido usual sobre \mathbb{R}, a menos que o enunciado indique outro corpo — aqui trataremos sobre \mathbb{R}).
Passo 2
Entendendo a condição sobre o núcleo de A. Quando dizemos que o Núcleo de A é \{\overrightarrow{0}\}, isso significa que a única solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} é \vec{x}=\vec{0}. Para uma matriz quadrada A isso é equivalente a dizer que A é invertível. Vou explicar por quê, passo a passo:
Definição: o núcleo (ou nulidade) de A é o conjunto de vetores \vec{x} tais que A\vec{x}=\vec{0}.
Teorema (fato básico de Álgebra Linear): para uma matriz quadrada A, ter núcleo trivial \{\vec{0}\} é equivalente a A ser invertível (existência de A^{-1}).
Intuição: se A\vec{x}=\vec{0} só tem solução trivial, as colunas de A são linearmente independentes, logo geram \mathbb{R}^n e A é invertível.
Portanto, da hipótese do item I concluímos que A é invertível, isto é, existe A^{-1}.
Passo 3
A partir de B A = A D e do fato de que A é invertível, manipulemos a igualdade para isolar B. Como A tem inversa A^{-1}, podemos multiplicar a igualdade pela direita por A^{-1}. Faça com calma:
B A = A D
multiplicando à direita por A^{-1}:
B A A^{-1} = A D A^{-1}.
Como A A^{-1}=I, obtemos
B = A D A^{-1}.
Essa expressão é crucial: mostra que B é semelhante à matriz diagonal D.
Passo 4
Explique o conceito que estamos usando: similaridade e diagonalizabilidade.
Definição: uma matriz M é dita diagonalizável se existe uma matriz inversível P tal que P^{-1} M P é uma matriz diagonal.
Observação: se M = P D P^{-1} com D diagonal e P invertível, então P^{-1} M P = D. Ou seja, ser similar a uma matriz diagonal é exatamente a definição de ser diagonalizável.
No nosso caso temos B = A D A^{-1}. Tomando P=A obtemos P^{-1} B P = D. Então B é similar à matriz diagonal D.
Portanto, qualquer matriz que possa ser escrita como A D A^{-1} (com A invertível e D diagonal) é diagonalizável.
Passo 5
Concluímos, então, que a afirmativa I é verdadeira: a hipótese implicou que A é invertível e que B é semelhante a D, logo B é diagonalizável. Vou repetir em uma frase curta e direta para fixar: da igualdade B A = A D e do núcleo de A trivial segue A invertível e B = A D A^{-1}, portanto B é diagonalizável.
Sinta-se confiante: este é um argumento padrão e simples de seguir em prova — identificar invertibilidade do A e reescrever a igualdade como similaridade.
Passo 6
Agora vamos analisar a afirmativa II sobre rotações em \mathbb{R}^3 em torno do eixo y. Primeiro, escrevemos a matriz típica de rotação em torno do eixo y por um ângulo \theta (no sistema de coordenadas canônico):
Explicação: a rotação deixa o eixo y fixo, então a coordenada y (segunda coordenada) é multiplicada por 1; nas coordenadas x,z a rotação age como uma rotação planar de \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.]
Passo 7
Procuremos autovalores e autovetores reais de R_y(\theta). Observações:
O vetor \vec{e}_2=(0,1,0) (eixo y) é claramente um autovetor com autovalor 1, porque o eixo é fixado pela rotação.
No plano xz (subespaço perpendicular ao eixo y), a ação é dada pela matriz 2\times2
Conclusão: além do autovalor real \lambda=1 (associado ao eixo y), os outros dois autovalores são complexos conjugados em geral.]
Passo 8
Interprete o que isso significa para diagonalizabilidade sobre \mathbb{R}.
Para que uma matriz real 3\times3 seja diagonalizável sobre \mathbb{R} precisa ter três autovetores reais linearmente independentes (equivalente a ter três autovalores reais contando multiplicidades e possível degeneração adequada).
Quando \theta não é múltiplo de \pi (ou seja, \theta\neq k\pi), temos \sin\theta\neq 0 e os dois autovalores do bloco são não reais: \cos\theta\pm i\sin\theta. Então não existem dois autovetores reais adicionais além de \vec{e}_2. Assim, não há base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais e a matriz NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Se \theta=0 (rotação trivial), R_y(0)=I, que é diagonalizável (é já a matriz identidade).
Se \theta=\pi (rotação de 180°), o bloco 2\times2 torna-se -I_2 e os autovalores são -1,-1 (reais). Nesse caso R_y(\pi) tem autovalores 1,-1,-1 e é diagonalizável sobre \mathbb{R} (é similar a \operatorname{diag}(1,-1,-1)).
Portanto: nem toda rotação em torno do eixo y é diagonalizável sobre \mathbb{R}; somente as rotações por ângulos \theta com \sin\theta=0 (isto é, \theta múltiplo de \pi) são diagonalizáveis em \mathbb{R}.
Passo 9
Damos um contraexemplo concreto e simples para fixar a intuição: escolha \theta=\pi/2 (rotação de 90° em torno do eixo y). A matriz é
Os autovalores deste caso são 1 e i, -i. Como há apenas um autovalor real com um autovetor real (\vec{e}_2), não se consegue obter três autovetores reais independentes — logo não é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Isso mostra explicitamente que a afirmativa “toda rotação…” é falsa.]
Passo 10
Resumo da análise:
I: Verdadeira — mostramos passo a passo que a hipótese implica A invertível e B = A D A^{-1}, ou seja, B é semelhante a uma diagonal, então é diagonalizável.
II: Falsa (em \mathbb{R}) — rotações em torno do eixo y com ângulo \theta genérico têm dois autovalores complexos conjugados e, portanto, não são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}; apenas os casos \theta=0 e \theta=\pi (múltiplos de \pi) são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}.