Escreva B como combinação linear das outras matrizes, se possível.
5. B=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\\ 0 & 3\end{array}\right], \quad A_{1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right], \quad A_{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: escrever B como combinação linear de A_{1} e A_{2}, se for possível. Dados fornecidos:
B=\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},\qquad A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix},\qquad A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que significa escrever B como combinação linear de A_{1} e A_{2}? Significa encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha A_{1}+\beta A_{2}=B.
Lembrete prático: multiplicar uma matriz por um escalar \alpha significa multiplicar cada entrada da matriz por \alpha; somar duas matrizes é somar suas entradas correspondentes.

Passo 3

Escrevemos a combinação geral \alpha A_{1}+\beta A_{2} calculando entrada a entrada:
\alpha A_{1}+\beta A_{2} = \alpha\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 0 & \alpha\cdot 2 + \beta\cdot 1\\[6pt] \alpha\cdot(-1) + \beta\cdot 2 & \alpha\cdot 1 + \beta\cdot 1 \end{pmatrix}.
Simplificando as expressões das entradas:
\alpha A_{1}+\beta A_{2} = \begin{pmatrix} \alpha & 2\alpha+\beta\\[4pt] -\alpha+2\beta & \alpha+\beta \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora igualamos essa matriz a B entrada a entrada e obtemos um sistema de equações para \alpha e \beta:
\begin{cases} \alpha = 2,\\[4pt] 2\alpha+\beta = 5,\\[4pt] -\alpha+2\beta = 0,\\[4pt] \alpha+\beta = 3. \end{cases}
Note que são quatro equações, mas só duas incógnitas; se houver solução todas as equações devem ser compatíveis entre si.]

Passo 5

Resolvendo o sistema: da primeira equação temos
\alpha = 2.
Substituindo em 2\alpha+\beta=5:
2\cdot 2+\beta=5 \implies 4+\beta=5 \implies \beta=1.
Verificamos as outras duas equações com \alpha=2 e \beta=1:
-\alpha+2\beta=-2+2\cdot 1=0 \quad\text{(vale)},
\alpha+\beta=2+1=3 \quad\text{(vale)}.
Portanto todas as equações são satisfeitas e a solução é \alpha=2,\\ \beta=1.

Passo 6

Fazendo a verificação explícita calculando 2A_{1}+1A_{2}:
2A_{1}=\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix},\qquad 1A_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},
2A_{1}+1A_{2}=\begin{pmatrix}2+0 & 4+1\\[4pt]-2+2 & 2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=B.
A verificação confirma que a combinação encontrada é correta.]

Resposta

B=2A_{1}+A_{2}

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