Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 35 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 45 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 43.8 \%
(B) 44.8 \%
(C) 45.8 \%
(D) 46.8 \%

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Estados possíveis num dia: “ensolarado” ou “chuvoso”.
  • Se um dia é ensolarado, a probabilidade de o dia seguinte também ser ensolarado é 0,35 (ou seja, 35\%).
  • Se um dia é chuvoso, a probabilidade de o dia seguinte também ser chuvoso é 0,45 (ou seja, 45\%).
  • Pergunta: qual é a probabilidade aproximada de que, daqui a 20 anos, o primeiro dia de janeiro seja ensolarado?

Passo 2

O que vamos fazer e por quê (explicando a ideia de forma amigável):
  • Esse tipo de problema envolve uma cadeia de Markov de dois estados (dias ensolarados e dias chuvosos) com transições diárias. A cada dia aplicamos a mesma regra de transição.
  • Como já se passaram muitos dias em 20 anos (aproximadamente 20\times 365 = 7\,300 dias, se ignorarmos anos bissextos), a distribuição de probabilidade do tempo tende a estabilizar — isto é, depois de muitas aplicações da mesma matriz de transição, a probabilidade de estar em “ensolarado” ou “chuvoso” converge para uma distribuição fixa que não muda mais ao aplicar uma etapa da cadeia. Essa distribuição fixa chama-se distribuição estacionária.
  • Portanto, em vez de calcular a multiplicação da matriz 7\,300 vezes (que é chato), podemos encontrar a distribuição estacionária \pi resolvendo a equação \pi = \pi P. Para justificar rapidamente: a matriz de transição tem todas as entradas positivas (nenhuma transição tem probabilidade zero), então a cadeia é regular e converge a uma distribuição estacionária única independentemente do estado inicial.
  • Assim, calcularemos a distribuição estacionária e usaremos seu componente correspondente a “ensolarado” como a probabilidade pedida (aproximação para 20 anos).

Passo 3

Montando a matriz de transição e escrevendo as equações:
  • Nomeemos os estados: S = ensolarado, R = chuvoso.
  • A matriz de transição por linha (estado atual) para coluna (próximo estado) é
P=\begin{pmatrix} 0,35 & 0,65\\[4pt] 0,55 & 0,45 \end{pmatrix},
onde a primeira linha corresponde a transições de S e a segunda de R. Por exemplo, P_{S\to S}=0,35 e P_{S\to R}=0,65.
  • A distribuição estacionária \pi é o vetor \pi=(\pi_S,\pi_R) que satisfaz
\pi = \pi P
e
\pi_S+\pi_R=1.
  • A equação \pi=\pi P gera duas equações, mas só precisamos de uma (a outra é redundante junto com a normalização). Usando a componente para S:
\pi_S = \pi_S\cdot 0,35 + \pi_R\cdot 0,55.]

Passo 4

Resolver a equação para \pi_S passo a passo (contas explicadas):
  • Começamos por isolar termos. Da equação
\pi_S = 0,35\,\pi_S + 0,55\,\pi_R,
subtraímos 0,35\,\pi_S de ambos os lados:
\pi_S - 0,35\,\pi_S = 0,55\,\pi_R.
  • Simplificando o lado esquerdo:
0,65\,\pi_S = 0,55\,\pi_R.
  • Isolando \pi_R em função de \pi_S:
\pi_R = \frac{0,65}{0,55}\,\pi_S = \frac{65}{55}\,\pi_S = \frac{13}{11}\,\pi_S.
  • Agora usamos a normalização \pi_S+\pi_R=1:
\pi_S + \frac{13}{11}\,\pi_S = 1.
  • Soma dos coeficientes:
\pi_S\left(1 + \frac{13}{11}\right) = \pi_S\cdot\frac{24}{11} = 1.
  • Portanto
\pi_S = \frac{11}{24}.

Passo 5

Converter para porcentagem e checar o resultado:
  • Calculando em decimal:
\pi_S = \frac{11}{24} \approx 0,458333\ldots
  • Em porcentagem isso é cerca de 45,833\%, que arredondado para uma casa decimal fica 45,8\%.

Resposta

45,8\% (alternativa C)

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