Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há
de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de
. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Estados possíveis num dia: “ensolarado” ou “chuvoso”.
- Se um dia é ensolarado, a probabilidade de o dia seguinte também ser ensolarado é
(ou seja, ). - Se um dia é chuvoso, a probabilidade de o dia seguinte também ser chuvoso é
(ou seja, ). - Pergunta: qual é a probabilidade aproximada de que, daqui a 20 anos, o primeiro dia de janeiro seja ensolarado?
Passo 2
O que vamos fazer e por quê (explicando a ideia de forma amigável):
- Esse tipo de problema envolve uma cadeia de Markov de dois estados (dias ensolarados e dias chuvosos) com transições diárias. A cada dia aplicamos a mesma regra de transição.
- Como já se passaram muitos dias em 20 anos (aproximadamente
dias, se ignorarmos anos bissextos), a distribuição de probabilidade do tempo tende a estabilizar — isto é, depois de muitas aplicações da mesma matriz de transição, a probabilidade de estar em “ensolarado” ou “chuvoso” converge para uma distribuição fixa que não muda mais ao aplicar uma etapa da cadeia. Essa distribuição fixa chama-se distribuição estacionária. - Portanto, em vez de calcular a multiplicação da matriz
vezes (que é chato), podemos encontrar a distribuição estacionária resolvendo a equação . Para justificar rapidamente: a matriz de transição tem todas as entradas positivas (nenhuma transição tem probabilidade zero), então a cadeia é regular e converge a uma distribuição estacionária única independentemente do estado inicial. - Assim, calcularemos a distribuição estacionária e usaremos seu componente correspondente a “ensolarado” como a probabilidade pedida (aproximação para 20 anos).
Passo 3
Montando a matriz de transição e escrevendo as equações:
- Nomeemos os estados:
= ensolarado, = chuvoso. - A matriz de transição por linha (estado atual) para coluna (próximo estado) é
onde a primeira linha corresponde a transições de
e a segunda de
. Por exemplo,
e
.
- A distribuição estacionária
é o vetor que satisfaz
e
- A equação
gera duas equações, mas só precisamos de uma (a outra é redundante junto com a normalização). Usando a componente para :
Passo 4
Resolver a equação para
passo a passo (contas explicadas):
- Começamos por isolar termos. Da equação
subtraímos
de ambos os lados:
- Simplificando o lado esquerdo:
- Isolando
em função de :
- Agora usamos a normalização
:
- Soma dos coeficientes:
- Portanto
Passo 5
Converter para porcentagem e checar o resultado:
- Calculando em decimal:
- Em porcentagem isso é cerca de
, que arredondado para uma casa decimal fica .