Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos vetores com a primeira entrada maior ou igual a zero é um subespaço vetorial do
.
II. O conjunto dos vetores com a quarta entrada igual a segunda é um subespaço vetorial do
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto dos vetores com a primeira entrada maior ou igual a zero é um subespaço vetorial do
II. O conjunto dos vetores com a quarta entrada igual a segunda é um subespaço vetorial do
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado apresenta duas afirmações sobre subconjuntos de
:
I. O conjunto dos vetores cuja primeira entrada é maior ou igual a zero.
II. O conjunto dos vetores cuja quarta entrada é igual à segunda. -
O que se pede: determinar quais dessas afirmações são verdadeiras, ou seja, quais desses conjuntos são subespaços vetoriais de
.
Passo 2
O que é preciso checar para um subconjunto
ser subespaço vetorial?
-
Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades: - Contém o vetor zero
. - É fechado sob soma: se
e então . - É fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .
- Contém o vetor zero
-
Explicação didática curta: essas propriedades garantem que qualquer combinação linear de vetores de
permaneça em . Uma forma alternativa e equivalente é exigir que seja não vazio e fechado para combinações lineares; aqui usaremos as três propriedades acima porque são fáceis de verificar em exemplos com coordenadas.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
-
Defina o conjunto
-
Verificar as três propriedades:
- Vetor zero:
tem primeira entrada , que satisfaz . Então . - Soma: se
então e . Assim , logo . Portanto S é fechado para soma. - Multiplicação por escalar: aqui há problema. Tome um exemplo concreto:
porque . Seja o escalar . Então cuja primeira entrada é , logo . Assim não é fechado sob multiplicação por escalar.
- Vetor zero:
-
Conclusão para I: como falha a propriedade (3), o conjunto da afirmativa I não é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
-
Defina o conjuntoOu seja, todos os vetores cuja coordenada 4 é igual à coordenada 2.
-
Verificar as três propriedades:
- Vetor zero: para
temos , então . - Soma: sejam
. Então e . Para a soma, portanto . Logo é fechado sob soma. - Multiplicação por escalar: seja
e com . Então logo . Assim é fechado sob multiplicação por escalar.
- Vetor zero: para
-
Outra forma de ver:
é o núcleo da forma linear ; núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Mas a prova acima com coordenadas já é suficiente e elementar. -
Conclusão para II: todas as três propriedades são satisfeitas, portanto
é subespaço vetorial. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Resumo e escolha final.
- I é falsa (falha em fechar sob multiplicação por escalar).
- II é verdadeira (fecha sob soma e escalar e contém o zero).
Resposta
(C) Só II é verdadeira.