Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos vetores com a primeira entrada maior ou igual a zero é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{7}.
II. O conjunto dos vetores com a quarta entrada igual a segunda é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{7}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado apresenta duas afirmações sobre subconjuntos de \mathbb{R}^{7}:
    I. O conjunto dos vetores cuja primeira entrada é maior ou igual a zero.
    II. O conjunto dos vetores cuja quarta entrada é igual à segunda.
  • O que se pede: determinar quais dessas afirmações são verdadeiras, ou seja, quais desses conjuntos são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{7}.

Passo 2

O que é preciso checar para um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{7} ser subespaço vetorial?
  • Um subconjunto W é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
    1. Contém o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0,0,0,0,0).
    2. É fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
    3. É fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\mathbf{u}\in W.
  • Explicação didática curta: essas propriedades garantem que qualquer combinação linear de vetores de W permaneça em W. Uma forma alternativa e equivalente é exigir que W seja não vazio e fechado para combinações lineares; aqui usaremos as três propriedades acima porque são fáceis de verificar em exemplos com coordenadas.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
  • Defina o conjunto
    S=\{\,(x_{1},x_{2},\dots,x_{7})\in\mathbb{R}^{7}\mid x_{1}\ge 0\,\}.
  • Verificar as três propriedades:
    1. Vetor zero: \mathbf{0}=(0,0,\dots,0) tem primeira entrada 0, que satisfaz 0\ge 0. Então \mathbf{0}\in S.
    2. Soma: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in S então u_{1}\ge0 e v_{1}\ge0. Assim (\mathbf{u}+\mathbf{v})_{1}=u_{1}+v_{1}\ge0, logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S. Portanto S é fechado para soma.
    3. Multiplicação por escalar: aqui há problema. Tome um exemplo concreto: \mathbf{u}=(1,0,0,0,0,0,0)\in S porque 1\ge0. Seja o escalar c=-1. Então c\mathbf{u}=(-1,0,0,0,0,0,0),cuja primeira entrada é -1<0, logo c\mathbf{u}\notin S. Assim S não é fechado sob multiplicação por escalar.
  • Conclusão para I: como falha a propriedade (3), o conjunto da afirmativa I não é subespaço vetorial. Portanto a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
  • Defina o conjunto
    T=\{\,(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})\in\mathbb{R}^{7}\mid x_{4}=x_{2}\,\}.
    Ou seja, todos os vetores cuja coordenada 4 é igual à coordenada 2.
  • Verificar as três propriedades:
    1. Vetor zero: para \mathbf{0} temos 0=0, então \mathbf{0}\in T.
    2. Soma: sejam \mathbf{u},\mathbf{v}\in T. Então u_{4}=u_{2} e v_{4}=v_{2}. Para a soma, (\mathbf{u}+\mathbf{v})_{4}=u_{4}+v_{4}=u_{2}+v_{2}=(\mathbf{u}+\mathbf{v})_{2},portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in T. Logo T é fechado sob soma.
    3. Multiplicação por escalar: seja c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in T com u_{4}=u_{2}. Então (c\mathbf{u})_{4}=c\,u_{4}=c\,u_{2}=(c\mathbf{u})_{2},logo c\mathbf{u}\in T. Assim T é fechado sob multiplicação por escalar.
  • Outra forma de ver: T é o núcleo da forma linear f(x)=x_{4}-x_{2}; núcleos de aplicações lineares são sempre subespaços. Mas a prova acima com coordenadas já é suficiente e elementar.
  • Conclusão para II: todas as três propriedades são satisfeitas, portanto T é subespaço vetorial. Logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Resumo e escolha final.
  • I é falsa (falha em fechar sob multiplicação por escalar).
  • II é verdadeira (fecha sob soma e escalar e contém o zero).

Resposta

(C) Só II é verdadeira.

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