Considere as afirmativas abaixo
I. Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD. (\times)
(A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as afirmativas dadas.
  • O problema apresenta duas afirmativas sobre conjuntos linearly dependent (LD):
    I. Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.
    II. A união de dois conjuntos LDs é LD.
  • A pergunta é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras, escolhendo entre as alternativas (A)–(D).

Passo 2

Definição e fatos importantes (explicação didática e necessária para a resolução).
  • Um conjunto S de vetores é dito linearmente dependente (LD) se existem vetores v_1,\dots,v_k\in S e escalares a_1,\dots,a_k, nem todos nulos, tais que
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = 0.
Esse é o conceito fundamental: “LD” significa que alguma combinação linear finita e não trivial dos vetores dá o vetor zero.
  • Consequências úteis:
    1. Se um conjunto contém o vetor nulo 0 então ele é LD (basta escolher coeficiente não nulo só para o 0).
    2. Se um vetor do conjunto é combinação linear dos outros, o conjunto é LD.
    3. Uma vez que um conjunto é LD, existe sempre uma combinação linear finita não trivial explicita — por isso, mesmo conjuntos infinitos LD têm uma “prova” de dependência baseada em um subconjunto finito.
    4. Se um conjunto contém um subconjunto que é LD, então o conjunto todo é LD (porque a mesma combinação que anula o subconjunto também anula o conjunto todo).
Esses fatos vão ser usados sem complicar com jargões: “LD” significa que há redundância entre os vetores, e essa redundância pode ser exibida por um número finito de vetores.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.”
  • Vamos buscar um contraexemplo simples em \mathbb{R}^2. Considere o conjunto
S=\{(1,0),(0,1),(1,1)\}.
  • Mostrar que S é LD: note que (1,1)=(1,0)+(0,1). Então existe relação linear não trivial
1\cdot(1,0)+1\cdot(0,1)-1\cdot(1,1)=0,
portanto S é LD.
  • Mostrar que S gera \mathbb{R}^2: os vetores (1,0) e (0,1) já formam uma base de \mathbb{R}^2, então qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 é combinação linear deles; como esses vetores estão em S, segue que \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^2.
  • Conclusão: existe um conjunto LD que gera o espaço inteiro. Logo a afirmativa I é falsa.
Comentário intuitivo extra (útil para prova): toda base é um conjunto gerador e linearmente independente; se acrescentarmos vetores à base, continuamos gerando o espaço mas passamos a ter dependência — portanto conjuntos LD podem (frequentemente) gerar todo o espaço.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “A união de dois conjuntos LDs é LD.”
  • Seja A um conjunto LD. Por definição, existe um subconjunto finito \{v_1,\dots,v_k\}\subset A e escalares a_1,\dots,a_k, nem todos nulos, tal que
a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0.
  • Se B é outro conjunto LD, existe também um subconjunto finito de B dando uma combinação linear não trivial que zera.
  • Agora considere a união A\cup B. Os vetores v_1,\dots,v_k (que deram a relação não trivial) pertencem a A, portanto pertencem a A\cup B. A mesma combinação não trivial que anula esses vetores continua válida em A\cup B. Assim A\cup B contém um subconjunto finito linearmente dependente, logo A\cup B é LD.
  • Esse argumento não depende de A ou B serem finitos; a definição de dependência usa sempre um subconjunto finito, e esse subconjunto finito permanece na união. Portanto a união de dois conjuntos LDs é sempre LD.
Resumo: se cada um dos conjuntos tem “uma prova finita de dependência”, a união contém essa prova e portanto é dependente.

Passo 5

Conclusão final combinando as análises:
  • I é falsa (mostrei contraexemplo).
  • II é verdadeira (prova direta pelo fato de que dependência se manifesta em um subconjunto finito, que fica preservado na união).
Portanto a alternativa correta é a que afirma que somente II é verdadeira.

Resposta

(C) Só II é verdadeira.

Exercícios relacionados