Considere as afirmativas abaixo
I. Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD. (\times)
(A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD. (\times)
(A) Todas são falsas. (B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as afirmativas dadas.
- O problema apresenta duas afirmativas sobre conjuntos linearly dependent (LD):
I. Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.
II. A união de dois conjuntos LDs é LD. - A pergunta é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras, escolhendo entre as alternativas (A)–(D).
Passo 2
Definição e fatos importantes (explicação didática e necessária para a resolução).
- Um conjunto
de vetores é dito linearmente dependente (LD) se existem vetores e escalares , nem todos nulos, tais que
Esse é o conceito fundamental: “LD” significa que alguma combinação linear finita e não trivial dos vetores dá o vetor zero.
- Consequências úteis:
- Se um conjunto contém o vetor nulo
então ele é LD (basta escolher coeficiente não nulo só para o ). - Se um vetor do conjunto é combinação linear dos outros, o conjunto é LD.
- Uma vez que um conjunto é LD, existe sempre uma combinação linear finita não trivial explicita — por isso, mesmo conjuntos infinitos LD têm uma “prova” de dependência baseada em um subconjunto finito.
- Se um conjunto contém um subconjunto que é LD, então o conjunto todo é LD (porque a mesma combinação que anula o subconjunto também anula o conjunto todo).
- Se um conjunto contém o vetor nulo
Esses fatos vão ser usados sem complicar com jargões: “LD” significa que há redundância entre os vetores, e essa redundância pode ser exibida por um número finito de vetores.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Nenhum conjunto LD gera o espaço todo.”
- Vamos buscar um contraexemplo simples em
. Considere o conjunto
- Mostrar que
é LD: note que . Então existe relação linear não trivial
portanto
é LD.
- Mostrar que
gera : os vetores e já formam uma base de , então qualquer vetor é combinação linear deles; como esses vetores estão em , segue que . - Conclusão: existe um conjunto LD que gera o espaço inteiro. Logo a afirmativa I é falsa.
Comentário intuitivo extra (útil para prova): toda base é um conjunto gerador e linearmente independente; se acrescentarmos vetores à base, continuamos gerando o espaço mas passamos a ter dependência — portanto conjuntos LD podem (frequentemente) gerar todo o espaço.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “A união de dois conjuntos LDs é LD.”
- Seja
um conjunto LD. Por definição, existe um subconjunto finito e escalares , nem todos nulos, tal que
- Se
é outro conjunto LD, existe também um subconjunto finito de dando uma combinação linear não trivial que zera. - Agora considere a união
. Os vetores (que deram a relação não trivial) pertencem a , portanto pertencem a . A mesma combinação não trivial que anula esses vetores continua válida em . Assim contém um subconjunto finito linearmente dependente, logo é LD. - Esse argumento não depende de
ou serem finitos; a definição de dependência usa sempre um subconjunto finito, e esse subconjunto finito permanece na união. Portanto a união de dois conjuntos LDs é sempre LD.
Resumo: se cada um dos conjuntos tem “uma prova finita de dependência”, a união contém essa prova e portanto é dependente.
Passo 5
Conclusão final combinando as análises:
- I é falsa (mostrei contraexemplo).
- II é verdadeira (prova direta pelo fato de que dependência se manifesta em um subconjunto finito, que fica preservado na união).
Portanto a alternativa correta é a que afirma que somente II é verdadeira.
Resposta
(C) Só II é verdadeira.