Q3: Determine o polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-4),(1,1) e (2,10). Assinale o valor de a.
\begin{array}{lllll}\text { (A) } 1 & \text { (B) } 2 & \text { \text{(C)} } 3 & \text { (D) } 4 & \text { (E) } 5\end{array} (F) 6

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio p(x)=a x^{2}+b x+c que passa pelos pontos (0,-4), (1,1) e (2,10) e, em particular, assinalar o valor de a.
Informações dadas:
  • p(x)=a x^{2}+b x+c com incógnitas a,b,c.
  • Pontos pelos quais o polinômio passa: p(0)=-4, p(1)=1, p(2)=10.
    A partir disso vamos formar equações que relacionam a,b,c.

Passo 2

Usar o ponto (0,-4). Substituir x=0 em p(x):
p(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c = c.
Como p(0)=-4, obtemos
c=-4.
Comentário didático: quando x=0 o termo em x e o termo em x^{2} desaparecem, restando só c. Assim conseguimos imediatamente o valor de c.

Passo 3

Usar o ponto (1,1). Substituir x=1 em p(x):
p(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c = a+b+c.
Como p(1)=1, temos
a+b+c=1.
Substituir c=-4 encontrado no passo anterior:
a+b-4=1 \quad\Rightarrow\quad a+b=5.

Passo 4

Usar o ponto (2,10). Substituir x=2 em p(x):
p(2)=a\cdot2^{2}+b\cdot2+c = 4a+2b+c.
Como p(2)=10, obtemos
4a+2b+c=10.
Substituir c=-4:
4a+2b-4=10 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=14.
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar:
2a+b=7.

Passo 5

Resolver o sistema linear em a\) e \(b\) formado pelas equações \[\begin{cases} a+b=5,\\[4pt] 2a+b=7. \end{cases}
Explicação do método (eliminação): subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (b]:
(2a+b)-(a+b)=7-5 \quad\Rightarrow\quad a=2.
Ou seja, encontramos
a=2.]

Passo 6

Verificação rápida (método alternativo ensino): usar diferenças finitas para quadráticas. Valores: p(0)=-4, p(1)=1, p(2)=10. Primeiras diferenças: 1-(-4)=5 e 10-1=9. Segunda diferença: 9-5=4. Para um polinômio quadrático p(x)=a x^{2}+bx+c a segunda diferença entre valores consecutivos é constante e igual a 2a. Então 2a=4\Rightarrow a=2. Confirma o resultado anterior.

Resposta

2

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