Considere as afirmativas abaixo:
I - Em
, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.
II - Em
, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.
(C) Todas são verdadeiras.
I - Em
II - Em
(C) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre dependência linear em espaços euclidianos e pede para decidir se ambas são verdadeiras. As informações dadas são:
- Afirmativa I: “Em
, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.” - Afirmativa II: “Em
, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.”
O objetivo é verificar a veracidade de cada afirmativa e, portanto, dizer se a opção "(C) Todas são verdadeiras" está correta.
Passo 2
Definição clara e simples de dependência linear (LD) e independência linear (LI).
- Um conjunto de vetores
é chamado de linearmente dependente (LD) se existem escalares, nem todos zero, tais que
Isto significa que alguma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) produz o vetor zero.
- O conjunto é linearmente independente (LI) se a única solução da equação acima é
.
Explicação intuitiva: LD significa que pelo menos um vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros; LI significa que nenhum vetor do conjunto depende linearmente dos demais.
Passo 3
Teorema importante (ferramenta que vamos usar) e sua explicação:
- Teorema: Em
, qualquer conjunto com mais de vetores é necessariamente linearmente dependente.
Por quê? Explicação didática:
- Coloque os
vetores como colunas de uma matriz de tamanho (cada coluna é um vetor em ). - Considere o sistema homogêneo
onde
são os coeficientes das combinações lineares.
- Esse sistema tem
equações e incógnitas. Se , então há mais incógnitas do que equações, portanto existe pelo menos uma incógnita livre após eliminação de Gauss (ou, dito de outra forma, não se pode ter pivôs em todas as colunas), o que implica existência de uma solução não trivial . - Essa solução não trivial corresponde exatamente a uma combinação linear não trivial das colunas que dá zero, i.e. as colunas são LD.
Versão curta que dá a intuição: o espaço
admite no máximo
vetores linearmente independentes; mais do que isso força dependência.
Passo 4
Aplicação do teorema à Afirmativa II.
- Aqui
e o número de vetores é . - Como
, pelo teorema acima o conjunto é necessariamente linearmente dependente. - Conclusão: a Afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Análise cuidadosa da Afirmativa I (caso com menos vetores que a dimensão).
- Em
temos e o conjunto dado tem vetores, ou seja . - Importante lembrar: ter menos de
vetores NÃO garante que os vetores sejam linearmente independentes; apenas diz que é possível que sejam independentes (o máximo de vetores LI é ), mas também é possível que sejam dependentes. - Portanto a frase “um conjunto com 15 vetores não pode ser LD” afirma que é impossível serem LD — isso é falso, porque existem conjuntos de 15 vetores em
que são LD.
Exemplos concretos (contraexemplos) muito simples para mostrar que LD é possível:
- Se um dos vetores for o vetor zero, por exemplo tome
e quaisquer, então
com coeficiente não todos nulos, logo o conjunto é LD.
-
Outro exemplo: repita um vetor. Em
tome (vetores da base canônica) e defina . Então fornece combinação não trivial, logo LD. -
Conclusão: a Afirmativa I é falsa.
Passo 6
Resumo final e resposta ao enunciado múltipla escolha:
- Afirmativa I: falsa.
- Afirmativa II: verdadeira.
- Portanto não é verdade que “todas são verdadeiras”. A alternativa marcada como (C) é incorreta.
Resposta
I: Falsa
II: Verdadeira
A alternativa (C) é incorreta.
II: Verdadeira
A alternativa (C) é incorreta.