Considere as afirmativas abaixo:
I - Em
, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.
II - Em
, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.
(D) Apenas II é verdadeira.
I - Em
II - Em
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre linearidade em espaços euclidianos e pede que a gente decida quais são verdadeiras:
- I — Em
, um conjunto com vetores não pode ser linearmente dependente (LD). - II — Em
, um conjunto com vetores é necessariamente linearmente dependente (LD).
Vou trabalhar cada afirmativa, explicando os conceitos usados de forma didática.
Passo 2
Definições e fato fundamental que vamos usar (explicado devagarinho).
- Um conjunto de vetores
é linearmente dependente (LD) se existem escalares , nem todos zero, tais que
Caso contrário (se a única solução for
), dizemos que o conjunto é linearmente independente (LI).
- Um fato chave: o espaço
tem dimensão . Isso significa, entre outras coisas, que não existem mais de vetores LI em . Ou seja, qualquer conjunto com mais de vetores em é necessariamente LD.
Vou detalhar um pouco por que isso é verdade (útil para prova/entendimento): suponha que temos
vetores em
com
. Colocando esses vetores como colunas de uma matriz
de tamanho
, consideramos o sistema homogêneo
onde
. Como há mais incógnitas (
) do que equações (
), o sistema admite uma solução não trivial (pelo princípio das variáveis livres em sistemas lineares), logo existe
com
, o que exatamente dá uma combinação linear não trivial das colunas igual a zero — dependência linear.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
- A afirmativa I diz que em
um conjunto com vetores não pode ser LD, isto é, afirma que a dependência é impossível para vetores. - Pelo fato fundamental acima, sabemos que em
qualquer conjunto com mais de vetores é necessariamente LD. Porém, isso não diz nada que impeça dependência quando temos menos de vetores; vetores em número menor ou igual a podem ser LI ou LD dependendo dos vetores escolhidos.
Para deixar claro, dou um contraexemplo explícito (parte importantíssima: sempre bom construir exemplos para refutar afirmações do tipo “não pode”):
- Considere o conjunto
onde
é o vetor nulo e
são os vetores da base canônica (primeiras
componentes iguais a
respectivamente e o resto zero). Esse conjunto tem
vetores. Como contém o vetor nulo
, ele é imediatamente LD, porque já existe uma combinação não trivial (por exemplo
com o coeficiente do vetor
igual a
) que mostra dependência linear.
- Portanto conjuntos com
vetores em podem ser LD. Assim a afirmação I é falsa.
Observação adicional (didática): também existem conjuntos de
vetores LI em
(por exemplo
), então ter
permite tanto independência quanto dependência dependendo dos vetores. Isso reforça por que a afirmação “não pode ser LD” é incorreta.
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
- A afirmativa II afirma que em
um conjunto com vetores é necessariamente LD. - Aqui aplicamos diretamente o fato fundamental: em
a dimensão é , logo não é possível ter mais de vetores LI. Como , qualquer conjunto de vetores em deve ser LD. - Podemos também dar a ideia do argumento matricial: colocando os
vetores como colunas de uma matriz , o sistema homogêneo tem incógnitas e equações, então tem solução não trivial, o que equivale a dependência linear das colunas. Portanto II é verdadeira.
Passo 5
Comparação final e conclusão lógica.
- Concluímos que I é falsa (existe exemplo concreto de conjunto com
vetores em que é LD) e II é verdadeira (qualquer conjunto com mais de vetores em é LD). - Logo a opção correta é que apenas a afirmativa II é verdadeira.
Resposta
(D) Apenas II é verdadeira.