Considere as afirmativas abaixo:
I - Em \mathbb{R}^{23}, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.
II - Em \mathbb{R}^{46}, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.
(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre linearidade em espaços euclidianos e pede que a gente decida quais são verdadeiras:
  • I — Em \mathbb{R}^{23}, um conjunto com 15 vetores não pode ser linearmente dependente (LD).
  • II — Em \mathbb{R}^{46}, um conjunto com 51 vetores é necessariamente linearmente dependente (LD).
Vou trabalhar cada afirmativa, explicando os conceitos usados de forma didática.

Passo 2

Definições e fato fundamental que vamos usar (explicado devagarinho).
  • Um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_m\} é linearmente dependente (LD) se existem escalares c_1,\dots,c_m, nem todos zero, tais que
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_m v_m = 0.
Caso contrário (se a única solução for c_1=\cdots=c_m=0), dizemos que o conjunto é linearmente independente (LI).
  • Um fato chave: o espaço \mathbb{R}^n tem dimensão n. Isso significa, entre outras coisas, que não existem mais de n vetores LI em \mathbb{R}^n. Ou seja, qualquer conjunto com mais de n vetores em \mathbb{R}^n é necessariamente LD.
Vou detalhar um pouco por que isso é verdade (útil para prova/entendimento): suponha que temos m vetores em \mathbb{R}^n com m>n. Colocando esses vetores como colunas de uma matriz A de tamanho n\times m, consideramos o sistema homogêneo
A x = 0,
onde x\in\mathbb{R}^m. Como há mais incógnitas ( m) do que equações ( n), o sistema admite uma solução não trivial (pelo princípio das variáveis livres em sistemas lineares), logo existe x\neq 0 com Ax=0, o que exatamente dá uma combinação linear não trivial das colunas igual a zero — dependência linear.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
  • A afirmativa I diz que em \mathbb{R}^{23} um conjunto com 15 vetores não pode ser LD, isto é, afirma que a dependência é impossível para 15 vetores.
  • Pelo fato fundamental acima, sabemos que em \mathbb{R}^{23} qualquer conjunto com mais de 23 vetores é necessariamente LD. Porém, isso não diz nada que impeça dependência quando temos menos de 23 vetores; vetores em número menor ou igual a 23 podem ser LI ou LD dependendo dos vetores escolhidos.
Para deixar claro, dou um contraexemplo explícito (parte importantíssima: sempre bom construir exemplos para refutar afirmações do tipo “não pode”):
  • Considere o conjunto
S=\{0,\; e_1,\; e_2,\;\dots,\; e_{14}\}\subset \mathbb{R}^{23},
onde 0 é o vetor nulo e e_i são os vetores da base canônica (primeiras 14 componentes iguais a 1 respectivamente e o resto zero). Esse conjunto tem 1+14=15 vetores. Como contém o vetor nulo 0, ele é imediatamente LD, porque já existe uma combinação não trivial (por exemplo 1\cdot 0 + 0\cdot e_1+\cdots+0\cdot e_{14}=0 com o coeficiente do vetor 0 igual a 1) que mostra dependência linear.
  • Portanto conjuntos com 15 vetores em \mathbb{R}^{23} podem ser LD. Assim a afirmação I é falsa.
Observação adicional (didática): também existem conjuntos de 15 vetores LI em \mathbb{R}^{23} (por exemplo \{e_1,\dots,e_{15}\}), então ter 15<23 permite tanto independência quanto dependência dependendo dos vetores. Isso reforça por que a afirmação “não pode ser LD” é incorreta.

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
  • A afirmativa II afirma que em \mathbb{R}^{46} um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.
  • Aqui aplicamos diretamente o fato fundamental: em \mathbb{R}^{46} a dimensão é 46, logo não é possível ter mais de 46 vetores LI. Como 51>46, qualquer conjunto de 51 vetores em \mathbb{R}^{46} deve ser LD.
  • Podemos também dar a ideia do argumento matricial: colocando os 51 vetores como colunas de uma matriz 46\times 51, o sistema homogêneo Ax=0 tem 51 incógnitas e 46 equações, então tem solução não trivial, o que equivale a dependência linear das colunas. Portanto II é verdadeira.

Passo 5

Comparação final e conclusão lógica.
  • Concluímos que I é falsa (existe exemplo concreto de conjunto com 15 vetores em \mathbb{R}^{23} que é LD) e II é verdadeira (qualquer conjunto com mais de 46 vetores em \mathbb{R}^{46} é LD).
  • Logo a opção correta é que apenas a afirmativa II é verdadeira.

Resposta

(D) Apenas II é verdadeira.

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