Q5: Um determinado fenômeno físico é modelado pela função y=a x^{2}+b x. Alguns experimentos foram realizados com os seguintes resultados:
\begin{array}{rr} \hline x & y \\\ \hline-1 & -4 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 12 \\\ \hline \end{array}
Os valores de a e b de forma a obter o modelo que melhor aproxima os dados experimentais no sentido dos mínimos quadrados são:
(A) a=4, b=8
(B) Nenhuma das alternativas
(C) 1
(D) 0
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de a e b que melhor aproximam os dados experimentais no sentido dos mínimos quadrados para o modelo y=a x^{2}+b x.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são os pontos:
(-1,\,-4),\qquad (0,\,1),\qquad (1,\,12).
Observação importante (útil para intuição): se tentássemos ajustar exatamente os três pontos com o modelo, já vemos um problema imediato ao olhar o ponto (0,1): para x=0 o modelo dá y=0, mas o dado é y=1. Logo não existe ajuste exato que passe por todos os pontos; por isso faz sentido aplicar o critério de mínimos quadrados (achar a,b que minimizam a soma dos quadrados dos erros).
Passo 2
O que significa “melhor aproxima” no sentido dos mínimos quadrados? Significa minimizar a soma dos quadrados dos resíduos (erros) entre os valores observados y_i e os valores preditos pelo modelo \hat{y}_i=a x_i^2+b x_i.
Definimos a função de erro (soma dos quadrados):
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a x_i^2 - b x_i\bigr)^2.
Aqui:
n é o número de pontos (aqui n=3).
(x_i,y_i) são os pontos medidos.
a e b são os parâmetros que queremos determinar.
A condição de mínimo (para um mínimo quadrático) é obter \displaystyle \frac{\partial S}{\partial a}=0 e \displaystyle \frac{\partial S}{\partial b}=0. Essas duas equações formam o sistema normal de mínimos quadrados.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente as equações normais. Calculando as derivadas parciais e igualando a zero obtemos:
\begin{cases} \displaystyle -2\sum_{i=1}^{n} x_i^2\bigl(y_i - a x_i^2 - b x_i\bigr)=0,\\[6pt] \displaystyle -2\sum_{i=1}^{n} x_i\bigl(y_i - a x_i^2 - b x_i\bigr)=0. \end{cases}
a = \dfrac{8}{2} = 4,\qquad b = \dfrac{16}{2} = 8.]
Passo 6
Interpretação final (rápida e motivadora): o ajuste por mínimos quadrados para o modelo y=a x^{2}+b x com os três pontos dados fornece a=4 e b=8. Pode ficar tranquilo: a conta é curta porque a matriz de sistema ficou diagonal — isso costuma acontecer quando os dados têm simetria (aqui os x são -1,0,1).