Q8: Seja S um sistema linear com m equações em n variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se m<n, a solução, se existir, será única.
II - Se m=n, S terá solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado diz que S é um sistema linear com m equações e n variáveis. São dadas duas afirmativas:
I - Se m<n, a solução, se existir, será única.
II - Se m=n, S terá solução única.
O que o exercício pede: escolher qual alternativa é correta entre (A) a (E). Vou listar as informações relevantes que temos:
  • m equações e n incógnitas.
  • Não há mais informação sobre dependência entre equações ou sobre os termos independentes (ou seja, nada foi dito sobre consistência do sistema nem sobre a matriz dos coeficientes ser invertível).
  • As afirmativas I e II são proposições gerais (valem para todo sistema com as dimensões dadas?) — devemos avaliar se elas são sempre verdadeiras, sempre falsas, ou só às vezes.

Passo 2

Modelagem matricial e definições essenciais (aqui a matemática básica que precisa saber). Um sistema linear pode ser escrito como
A x = b,
onde:
  • A é a matriz dos coeficientes de dimensão m\times n,
  • x é o vetor coluna de incógnitas de dimensão n\times1,
  • b é o vetor coluna dos termos constantes de dimensão m\times1.
Definições e fatos importantes que vamos usar:
  • O posto (rank) de A, denotado \operatorname{rank}(A), é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de A.
  • Tem-se sempre
\operatorname{rank}(A) \le \min(m,n).
  • Critério de existência: o sistema A x=b é consistente (tem pelo menos uma solução) se e somente se
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A\mid b]),
onde [A\mid b] é a matriz aumentada.
  • Critério de unicidade: quando consistente, a solução é única se e somente se
\operatorname{rank}(A) = n.
Explicação do último ponto em palavras: para ter solução única não pode existir variável livre; isso acontece exatamente quando as colunas de A são linearmente independentes (ou seja, o espaço gerado pelas colunas tem dimensão n).

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se m<n, a solução, se existir, será única.”
Use o fato sobre o posto:
\operatorname{rank}(A) \le \min(m,n).
Se m<n então \min(m,n)=m, logo
\operatorname{rank}(A) \le m < n.
Portanto \operatorname{rank}(A) < n. Mas para ter solução única (quando consistente) precisávamos de \operatorname{rank}(A)=n. Isso é impossível quando m<n. Conclusão teórica: se m<n então nunca ocorre \operatorname{rank}(A)=n, logo não pode haver solução única; quando o sistema for consistente ele terá necessariamente variáveis livres e, portanto, infinitas soluções. Logo a afirmativa I é falsa.
Para fixar com um exemplo simples (contraposição concreta): considere m=1, n=2 e a equação
x_1 + x_2 = 1.
Isso é um sistema com m<n. Ele é consistente e tem infinitas soluções: por exemplo escrever x_2 = 1-x_1 e escolher x_1 livre dá todos os pares (x_1,1-x_1). Portanto, mesmo existindo solução, ela não é única.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se [m=n), S terá solução única.”
Quando m=n a matriz A é quadrada ( n\times n). Existem três possibilidades para o posto:
  • \operatorname{rank}(A)=n. Nesse caso A é invertível e, para qualquer b, o sistema tem exatamente uma solução x=A^{-1}b.
  • \operatorname{rank}(A)=r<n. Nesse caso as colunas de A são linearmente dependentes. Dependendo de b pode ocorrer:
    • Se \operatorname{rank}([A\mid b])=r, o sistema é consistente e tem infinitas soluções (variáveis livres).
    • Se \operatorname{rank}([A\mid b])=r+1, o sistema é inconsistente (não tem solução).
Logo, para m=n não há garantia geral de solução única: às vezes há (quando A tem posto n), às vezes há infinitas soluções ou nenhuma solução (quando A é singular). Portanto a afirmativa II também é falsa como afirmação universal.
Vou mostrar exemplos numéricos para tornar isso claro.
Exemplo onde m=n e há solução única (caso favorável):
\begin{cases} x_1 = 1,\\[4pt] x_2 = 2, \end{cases}
que corresponde a A=I_2\] (matriz identidade \[2\times2), cujo determinante é não nulo; aqui há solução única.
Exemplo onde m=n e há infinitas soluções (contrexemplo para a afirmativa II):
\begin{cases} x_1 + x_2 = 1,\\[4pt] 2x_1 + 2x_2 = 2, \end{cases}
a segunda equação é múltipla da primeira, então as duas não fornecem restrição adicional: há infinitas soluções (mesma família do exemplo anterior com m<n\]). Aqui \[A tem posto 1<n=2.
Exemplo onde m=n e não há solução (outro contrexemplo para II):
\begin{cases} x_1 + x_2 = 1,\\[4pt] x_1 + x_2 = 2, \end{cases}
essas duas equações são incompatíveis (mesmo lado esquerdo, lados direitos diferentes), logo o sistema é inconsistente.
Esses exemplos mostram que, com m=n\], tudo pode acontecer dependendo do posto de \(A e da consistência com b. Portanto a afirmação “sempre terá solução única” é falsa.]

Passo 5

Resumo final da argumentação (sem repetir a letra da alternativa):
  • I é falsa porque quando m<n sempre \operatorname{rank}(A)\le m<n, então não se alcança \operatorname{rank}(A)=n e, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções.
  • II é falsa porque, mesmo com m=n, pode ocorrer \operatorname{rank}(A)=n (caso único), mas também pode ocorrer \operatorname{rank}(A)<n levando a infinitas soluções ou a nenhuma solução — portanto não se garante solução única em todos os casos.

Resposta

(A)

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