Q8: Seja
um sistema linear com
equações em
variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
, a solução, se existir, será única.
II - Se
, S terá solução única.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado diz que
é um sistema linear com
equações e
variáveis. São dadas duas afirmativas:
I - Se , a solução, se existir, será única.
II - Se ,
terá solução única.
I - Se
II - Se
O que o exercício pede: escolher qual alternativa é correta entre (A) a (E). Vou listar as informações relevantes que temos:
- Há
equações e incógnitas. - Não há mais informação sobre dependência entre equações ou sobre os termos independentes (ou seja, nada foi dito sobre consistência do sistema nem sobre a matriz dos coeficientes ser invertível).
- As afirmativas I e II são proposições gerais (valem para todo sistema com as dimensões dadas?) — devemos avaliar se elas são sempre verdadeiras, sempre falsas, ou só às vezes.
Passo 2
Modelagem matricial e definições essenciais (aqui a matemática básica que precisa saber). Um sistema linear pode ser escrito como
onde:
-
é a matriz dos coeficientes de dimensão , -
é o vetor coluna de incógnitas de dimensão , -
é o vetor coluna dos termos constantes de dimensão .
Definições e fatos importantes que vamos usar:
- O posto (rank) de
, denotado , é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de . - Tem-se sempre
- Critério de existência: o sistema
é consistente (tem pelo menos uma solução) se e somente se
onde
é a matriz aumentada.
- Critério de unicidade: quando consistente, a solução é única se e somente se
Explicação do último ponto em palavras: para ter solução única não pode existir variável livre; isso acontece exatamente quando as colunas de
são linearmente independentes (ou seja, o espaço gerado pelas colunas tem dimensão
).
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
, a solução, se existir, será única.”
Use o fato sobre o posto:
Se
então
, logo
Portanto
. Mas para ter solução única (quando consistente) precisávamos de
. Isso é impossível quando
. Conclusão teórica: se
então nunca ocorre
, logo não pode haver solução única; quando o sistema for consistente ele terá necessariamente variáveis livres e, portanto, infinitas soluções. Logo a afirmativa I é falsa.
Para fixar com um exemplo simples (contraposição concreta): considere
,
e a equação
Isso é um sistema com
. Ele é consistente e tem infinitas soluções: por exemplo escrever
e escolher
livre dá todos os pares
. Portanto, mesmo existindo solução, ela não é única.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se [m=n),
terá solução única.”
Quando
a matriz
é quadrada (
). Existem três possibilidades para o posto:
-
. Nesse caso é invertível e, para qualquer , o sistema tem exatamente uma solução . -
. Nesse caso as colunas de são linearmente dependentes. Dependendo de pode ocorrer: - Se
, o sistema é consistente e tem infinitas soluções (variáveis livres). - Se
, o sistema é inconsistente (não tem solução).
- Se
Logo, para
não há garantia geral de solução única: às vezes há (quando
tem posto
), às vezes há infinitas soluções ou nenhuma solução (quando
é singular). Portanto a afirmativa II também é falsa como afirmação universal.
Vou mostrar exemplos numéricos para tornar isso claro.
Exemplo onde
e há solução única (caso favorável):
que corresponde a
), cujo determinante é não nulo; aqui há solução única.
Exemplo onde
e há infinitas soluções (contrexemplo para a afirmativa II):
a segunda equação é múltipla da primeira, então as duas não fornecem restrição adicional: há infinitas soluções (mesma família do exemplo anterior com
tem posto
.
Exemplo onde
e não há solução (outro contrexemplo para II):
essas duas equações são incompatíveis (mesmo lado esquerdo, lados direitos diferentes), logo o sistema é inconsistente.
Esses exemplos mostram que, com
e da consistência com
. Portanto a afirmação “sempre terá solução única” é falsa.]
Passo 5
Resumo final da argumentação (sem repetir a letra da alternativa):
- I é falsa porque quando
sempre , então não se alcança e, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções. - II é falsa porque, mesmo com
, pode ocorrer (caso único), mas também pode ocorrer levando a infinitas soluções ou a nenhuma solução — portanto não se garante solução única em todos os casos.
Resposta
(A)