Q4: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - \{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid z=0\} não é subespaço vetorial.
II - \{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=z=y\} é subespaço vetorial de dimensão 2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas duas afirmativas sobre subconjuntos de \mathbb{R}^4:
    • I: \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid z=0\} não é subespaço vetorial.
    • II: \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x=z=y\} é subespaço vetorial de dimensão 2.
  • O enunciado pede identificar qual alternativa entre (A),(B),(D),(E) é correta, onde as alternativas escritas são:
    • (A) Todas são falsas.
    • (B) Apenas I é verdadeira.
    • (D) Todas são verdadeiras.
    • (E) Não sei
Observação: a tarefa é avaliar a veracidade de I e II e então escolher a alternativa correta (ou concluir que nenhuma das alternativas dadas corresponde). Não começo a resolver ainda; apenas enumerei os dados e a pergunta.

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^4?
  • Um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^4 é subespaço vetorial se, e somente se:
    1. S contém o vetor nulo 0=(0,0,0,0).
    2. S é fechado sob soma: se u\in S e v\in S, então u+v\in S.
    3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in S.
Esses três itens são práticos para testar um conjunto. Além disso, para obter a dimensão de um subespaço, normalmente expressamos os vetores do conjunto por parâmetros (uma base) e contamos o número de vetores independentes que geram o conjunto.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
  • O conjunto é \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid z=0\}. Vou chamar esse conjunto de S_1.
  • Escrevendo vetores de S_1 em forma paramétrica: \,(x,y,0,w)=(x,0,0,0)+(0,y,0,0)+(0,0,0,w)\,. Ou seja, qualquer vetor de S_1 pode ser escrito como combinação linear de (1,0,0,0), (0,1,0,0) e (0,0,0,1).
  • Verificações passo a passo:
    1. Vetor zero: (0,0,0,0) pertence a S_1 porque sua terceira coordenada é 0.
    2. Fechamento por soma: se u=(x_1,y_1,0,w_1) e v=(x_2,y_2,0,w_2) então u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0,\;w_1+w_2),cuja terceira coordenada é 0, logo u+v\in S_1.
    3. Fechamento por escalar: se \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,0,w) então \alpha u=(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha\cdot 0,\;\alpha w)=(\alpha x,\alpha y,0,\alpha w),cuja terceira coordenada também é 0, logo \alpha u\in S_1.
  • Conclusão: S_1 satisfaz os três requisitos, portanto é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4. Além disso, a parametrização mostra que S_1=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\}, ou seja, tem dimensão 3.
  • A afirmativa I diz que S_1 “não é subespaço vetorial”. Isso é falso.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
  • O conjunto é \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x=z=y\}. Vou chamar esse conjunto de S_2.
  • A condição x=z=y significa que as três primeiras coordenadas são iguais; escrevemos t para esse valor comum. Então qualquer vetor em S_2 tem a forma
    (x,y,z,w)=(t,t,t,w),
    com t,w\in\mathbb{R}.
  • Parâmetros: (t,t,t,w)=t(1,1,1,0)+w(0,0,0,1). Portanto
    S_2=\{\,t(1,1,1,0)+w(0,0,0,1)\mid t,w\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{(1,1,1,0),(0,0,0,1)\}.
  • Verificações rápidas:
    1. Contém o zero: para t=0,w=0 obtém-se (0,0,0,0).
    2. Fechamento por soma e por escalação seguem diretamente da forma de span (qualquer combinação linear de vetores do span permanece no span).
  • Linearmente independentes? Teste: se a(1,1,1,0)+b(0,0,0,1)=(0,0,0,0) então comparando coordenadas, da primeira coordenada vem a=0; da última vem b=0. Logo são independentes.
  • Conclusão: S_2 é subespaço vetorial e é gerado por dois vetores independentes, logo \dim(S_2)=2.
  • A afirmativa II diz que S_2 é subespaço vetorial de dimensão 2. Isso é verdadeiro.

Passo 5

Resumo das verdades:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
Logo a situação lógica é: apenas II é verdadeira.
Observação sobre as alternativas fornecidas: entre as opções dadas (A),(B),(D),(E) não há uma alternativa que diga “Apenas II é verdadeira”. Portanto nenhuma das alternativas listadas coincide com a conclusão correta.

Resposta

Apenas II é verdadeira.

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