Q4: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
não é subespaço vetorial.
II -
é subespaço vetorial de dimensão 2.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I -
II -
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas duas afirmativas sobre subconjuntos de
: - I:
não é subespaço vetorial. - II:
é subespaço vetorial de dimensão .
- I:
- O enunciado pede identificar qual alternativa entre
é correta, onde as alternativas escritas são: - (A) Todas são falsas.
- (B) Apenas I é verdadeira.
- (D) Todas são verdadeiras.
- (E) Não sei
Observação: a tarefa é avaliar a veracidade de I e II e então escolher a alternativa correta (ou concluir que nenhuma das alternativas dadas corresponde). Não começo a resolver ainda; apenas enumerei os dados e a pergunta.
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser subespaço vetorial de
?
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se: -
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
-
Esses três itens são práticos para testar um conjunto. Além disso, para obter a dimensão de um subespaço, normalmente expressamos os vetores do conjunto por parâmetros (uma base) e contamos o número de vetores independentes que geram o conjunto.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
-
O conjunto é
. Vou chamar esse conjunto de . -
Escrevendo vetores de
em forma paramétrica: . Ou seja, qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear de , e . -
Verificações passo a passo:
- Vetor zero:
pertence a porque sua terceira coordenada é . - Fechamento por soma: se
e então cuja terceira coordenada é , logo . - Fechamento por escalar: se
e então cuja terceira coordenada também é , logo .
- Vetor zero:
-
Conclusão:
satisfaz os três requisitos, portanto é subespaço vetorial de . Além disso, a parametrização mostra que , ou seja, tem dimensão . -
A afirmativa I diz que
“não é subespaço vetorial”. Isso é falso.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
-
O conjunto é
. Vou chamar esse conjunto de . -
A condição
significa que as três primeiras coordenadas são iguais; escrevemos para esse valor comum. Então qualquer vetor em tem a forma com. -
Parâmetros:
. Portanto -
Verificações rápidas:
- Contém o zero: para
obtém-se . - Fechamento por soma e por escalação seguem diretamente da forma de span (qualquer combinação linear de vetores do span permanece no span).
- Contém o zero: para
-
Linearmente independentes? Teste: se
então comparando coordenadas, da primeira coordenada vem ; da última vem . Logo são independentes. -
Conclusão:
é subespaço vetorial e é gerado por dois vetores independentes, logo . -
A afirmativa II diz que
é subespaço vetorial de dimensão . Isso é verdadeiro.
Passo 5
Resumo das verdades:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
Logo a situação lógica é: apenas II é verdadeira.
Observação sobre as alternativas fornecidas: entre as opções dadas
não há uma alternativa que diga “Apenas II é verdadeira”. Portanto nenhuma das alternativas listadas coincide com a conclusão correta.
Resposta
Apenas II é verdadeira.