Q2: Considere os seguintes sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{ccc|c} a & b & c & 0 \\\ d & e & f & 0 \\\ g & h & i & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{cc|c} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são falsas.
B) Apenas I é verdadeira.
C) Apenas II é verdadeira.
E) Não sei
I) Se S_{1} tem solução única, então S_{2} não tem solução.
II) Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem solução diferente de zero.
( ✓ ) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Sistemas fornecidos:
S_{1} é o sistema homogêneo cujo matriz aumentada é\left[\begin{array}{ccc|c} a & b & c & 0 \\\ d & e & f & 0 \\\ g & h & i & 0 \end{array}\right],isto é, equações da formaa x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0, \qquad d x_{1}+e x_{2}+f x_{3}=0, \qquad g x_{1}+h x_{2}+i x_{3}=0.
S_{2} é o sistema (não homogêneo) cuja matriz aumentada é\left[\begin{array}{cc|c} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{array}\right],isto é, equações da formaa y_{1}+b y_{2}=c, \qquad d y_{1}+e y_{2}=f, \qquad g y_{1}+h y_{2}=i.
Note que as mesmas letras a,b,\dots,i aparecem nas duas matrizes; em particular o vetor coluna dos termos independentes de S_{2} é (c,f,i)^{T}, que na matriz de S_{1} é a terceira coluna de coeficientes.
As afirmativas para avaliar:
I) Se S_{1} tem solução única, então S_{2} não tem solução.
II) Se S_{2} tem solução, então S_{1} tem solução diferente de zero.
O objetivo é decidir a veracidade de I e II.
Passo 2
Preparando o terreno: conceitos e notação que vou usar (devagar e com jeitinho).
Vou denotar as três colunas da matriz de coeficientes de S_{1} como vetores em \mathbb{R}^{3}:
Assim a matriz de coeficientes de S_{1} é [\,v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\,] e a de S_{2} é [\,v_{1}\\ v_{2}\,] com termo independente v_{3}.
Lembretes importantes (explicados em palavras simples):
Um sistema homogêneo A x=0 tem sempre a solução trivial x=0. Ele tem solução única (apenas a trivial) se, e somente se, as colunas de A são linearmente independentes (equivalente: \det A\neq 0 quando A é quadrada).
Um sistema não homogêneo B y=b tem solução se, e somente se, o vetor b pertence ao subespaço gerado pelas colunas de B; isto é, se b é combinação linear das colunas de B.
Linearmente independente significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros; linearmente dependente significa que existe uma combinação não trivial que dá zero.
Com essa notação e recordatórios, fica mais claro trabalhar com I e II.
Passo 3
Prova da afirmativa I (passo a passo e com lógica clara).
Hipótese: S_{1} tem solução única. Como S_{1} é homogêneo A x=0, solução única significa que apenas x=(0,0,0)^{T} resolve A x=0. Isso é equivalente a dizer que as colunas v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes.
Consequência: Se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes, então em particular v_{3} NÃO é combinação linear de v_{1} e v_{2}. Em palavras: não existem escalares \alpha,\beta tais que\alpha v_{1}+\beta v_{2}=v_{3}.
Mas a existência de solução para S_{2} é exatamente a existência de \alpha,\beta que satisfaçam \alpha v_{1}+\beta v_{2}=v_{3} (porque S_{2} é o sistema v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}=v_{3}).
Portanto, se S_{1} tem solução única (colunas independentes), então não existem tais \alpha,\beta, logo S_{2} NÃO tem solução.
Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: escolha
Aqui v_{1},v_{2},v_{3} são independentes (sistema homogêneo tem só solução trivial). Mas não existe \alpha,\beta com \alpha v_{1}+\beta v_{2}=v_{3}, logo o sistema v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}=v_{3} não tem solução. Isso espelha a prova geral.
Conclusão: I é verdadeira.
Passo 4
Prova da afirmativa II (passo a passo, construção explícita da solução não nula).
Hipótese: S_{2} tem solução. Isso significa que existem escalares u,v tais queu v_{1}+v v_{2}=v_{3}.Em outras palavras, v_{3} pertence ao span\{v_{1},v_{2}\}.
Considere agora o sistema homogêneo S_{1}, que requer encontrar (x_{1},x_{2},x_{3}) tal quex_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+x_{3}v_{3}=0.
Agora escolha x_{3}=1, x_{1}=-u, x_{2}=-v. Com essa escolha a combinação fica(-u+u\cdot1)v_{1}+(-v+v\cdot1)v_{2}=0,ou seja, satisfaz a equação homogênea.
O vetor (x_{1},x_{2},x_{3})=(-u,-v,1) é claramente NÃO-NULO (pois a componente x_{3}=1 é não zero). Assim S_{1} tem uma solução diferente de zero (ou seja, tem solução não trivial).
Outra forma de ver: se v_{3} está no span de v_{1},v_{2}, então as três colunas são linearmente dependentes, o que implica que o sistema homogêneo tem infinito de soluções (ou pelo menos uma solução não trivial). Em qualquer caso, existe uma solução não nula.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 5
Resumo final e interpretação intuitiva (rápido e motivador).
Intuição rápida: se as três colunas são independentes (caso S_{1} só tem a solução trivial), então a terceira coluna não pode ser “feita” a partir das duas primeiras, então o sistema com só duas incógnitas não consegue atingir a terceira coluna como vetor termo independente — logo S_{2} é impossível. Por outro lado, se S_{2} consegue expressar a terceira coluna com as duas primeiras, então essa dependência dá na hora uma solução não trivial para o homogêneo S_{1}.
Portanto as duas afirmativas I e II estão corretas.