Verificar se os vetores são Colineares; ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. (vale 2)
:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no espaço
:
e
.
A pergunta é: eles são colineares? são ortogonais? são ambos? ou nenhum dos dois?
A pergunta é: eles são colineares? são ortogonais? são ambos? ou nenhum dos dois?
Passo 2
Definição e teste de colinearidade (explicação didática).
- Dois vetores
e são colineares se existe um escalar tal que . Geometricamente isso significa que um vetor é exatamente a mesma direção do outro (talvez com sentido contrário se ) — ou seja, ficam sobre a mesma reta que passa pela origem. - Para testar, basta verificar se as três componentes satisfazem a mesma razão
(desde que nenhuma componente de seja zero; se houver zeros procede-se com cuidado, comparando componentes correspondentes).
Agora aplicando ao caso:
As três razões são iguais a
. Logo
portanto
e
são colineares.
Passo 3
Definição e teste de ortogonalidade (explicação didática).
- Dois vetores
e são ortogonais se o produto escalar (dot product) for zero:
- Produto escalar mede “quanto” um vetor projeta no outro; se é zero, eles são perpendiculares.
Calculemos o produto escalar de
e
:
Faço as multiplicações parciais:
Somando:
Como
, os vetores não são ortogonais.
Passo 4
Interpretação final e dica para prova.
- Conclusão: os vetores são colineares porque um é múltiplo escalar exato do outro (
). - Eles não são ortogonais porque o produto escalar não é zero (
).
Dica prática: em prova primeiro cheque razão componente a componente para colinearidade (ou use produto vetorial empara ver se é zero), e cheque produto escalar para ortogonalidade — passos rápidos e seguros quando o número de componentes é pequeno.
Resposta
Colineares:
Ortogonais:
Ortogonais: