Verificar se os vetores são Colineares; ortogonais, os dois ou nenhum dos dois. (vale 2)
\overrightarrow{\vec{w}}_{1}=(3,-1,7), \vec{w}_{2}=(12,-4,28) :

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no espaço \mathbb{R}^3:
\vec{w}_1=(3,-1,7) e \vec{w}_2=(12,-4,28).
A pergunta é: eles são colineares? são ortogonais? são ambos? ou nenhum dos dois?

Passo 2

Definição e teste de colinearidade (explicação didática).
  • Dois vetores \vec{a} e \vec{b} são colineares se existe um escalar \lambda tal que \vec{b}=\lambda\vec{a}. Geometricamente isso significa que um vetor é exatamente a mesma direção do outro (talvez com sentido contrário se \lambda<0) — ou seja, ficam sobre a mesma reta que passa pela origem.
  • Para testar, basta verificar se as três componentes satisfazem a mesma razão \dfrac{b_i}{a_i}=\lambda (desde que nenhuma componente de \vec{a} seja zero; se houver zeros procede-se com cuidado, comparando componentes correspondentes).
Agora aplicando ao caso:
\frac{12}{3}=4,\qquad \frac{-4}{-1}=4,\qquad \frac{28}{7}=4.
As três razões são iguais a \lambda=4. Logo
\vec{w}_2=4\vec{w}_1,
portanto \vec{w}_1 e \vec{w}_2 são colineares.

Passo 3

Definição e teste de ortogonalidade (explicação didática).
  • Dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) são ortogonais se o produto escalar (dot product) for zero:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.
  • Produto escalar mede “quanto” um vetor projeta no outro; se é zero, eles são perpendiculares.
Calculemos o produto escalar de \vec{w}_1 e \vec{w}_2:
\vec{w}_1\cdot\vec{w}_2 = 3\cdot12 + (-1)\cdot(-4) + 7\cdot28.
Faço as multiplicações parciais:
3\cdot12=36,\qquad (-1)\cdot(-4)=4,\qquad 7\cdot28=196.
Somando:
36+4+196=236.
Como \vec{w}_1\cdot\vec{w}_2=236\neq0, os vetores não são ortogonais.

Passo 4

Interpretação final e dica para prova.
  • Conclusão: os vetores são colineares porque um é múltiplo escalar exato do outro ( \vec{w}_2=4\vec{w}_1).
  • Eles não são ortogonais porque o produto escalar não é zero ( \vec{w}_1\cdot\vec{w}_2=236).
    Dica prática: em prova primeiro cheque razão componente a componente para colinearidade (ou use produto vetorial em \mathbb{R}^3 para ver se é zero), e cheque produto escalar para ortogonalidade — passos rápidos e seguros quando o número de componentes é pequeno.

Resposta

Colineares: \text{sim}
Ortogonais: \text{não}ã

Exercícios relacionados