1. Considere agora que o campo é oscilante, \mathbf{B}(t)=B_{0} \cos (\omega t) e a barra está fixa. (a) Calcule a fem induzida. (b) Calcule a potência elétrica média gerada, \langle P(t)\rangle=\left\langle\varepsilon^{2}(t)\right\rangle / R, onde R é a resistência total do circuito. Resp: \mathcal{E}(t)=-\frac{d}{d t}[a b B(t)]=a b B_{0} \omega \sin (\omega t) ;\langle P(t)\rangle= \frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2} \omega^{2}}{2 R}
Comentário: Se o campo oscilante é produzido pelo movimento de um magneto abaixo do circuito, trata-se de um gerador.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações (retirei os valores a e b da figura fornecida): \n
  • O campo magnético é temporariamente variável e uniforme na região do circuito: \mathbf{B}(t)=B_{0}\cos(\omega t). \n
  • O circuito é um retângulo de lados a (vertical) e b (horizontal) conforme a figura; a barra está fixa (ou seja, a área do laço é constante). \n
  • A resistência total do circuito é R. \n
    O que se pede: \n
    (a) Calcular a fem induzida \mathcal{E}(t). \n
    (b) Calcular a potência média elétrica gerada \langle P(t)\rangle=\left\langle\varepsilon^{2}(t)\right\rangle / R.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): fluxo magnético e Lei de Faraday. \n
  • O fluxo magnético através de uma superfície S é definido por \displaystyle \Phi_B=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}. Aqui \mathbf{B} é o campo magnético e d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície). \n
  • Quando \mathbf{B} é uniforme e perpendicular à superfície plana do laço, a integral simplifica para \displaystyle \Phi_B=B(t)\,A, onde A é a área do laço. \n
  • A fem induzida (ou força eletromotriz) dada pela Lei de Faraday é \displaystyle \mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi_B}{dt}. \n
    Explanação do sinal negativo: o menos vem da regra de Lenz — a corrente induzida tende a se opor à mudança do fluxo que a produziu. Aqui vamos aplicar a expressão matemática diretamente; o sinal negativo indica essa oposição.

Passo 3

Calcular a área do laço (dados da figura). \n
  • A área do retângulo mostrado na figura é simplesmente o produto dos lados: \displaystyle A = a\cdot b. \n
    (Observação: eu peguei as letras a e b da figura fornecida.)

Passo 4

Escrever o fluxo magnético como função do tempo. \n
  • Substituindo A e B(t) temos \displaystyle \Phi_B(t)=B(t)\,A = B_{0}\cos(\omega t)\cdot (a b). \n
  • Em forma mais direta: \displaystyle \Phi_B(t)=a b B_{0}\cos(\omega t).

Passo 5

Derivar o fluxo em relação ao tempo (passo a passo da derivação). \n
  • Precisamos de \displaystyle \frac{d\Phi_B}{dt}. Use a regra de derivação da função cosseno: \displaystyle \frac{d}{dt}\big[\cos(\omega t)\big]= -\omega\sin(\omega t). \n
  • Então \displaystyle \frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{d}{dt}\big[a b B_{0}\cos(\omega t)\big] = a b B_{0}\cdot\big(-\omega\sin(\omega t)\big). \n
  • Ou seja: \displaystyle \frac{d\Phi_B}{dt} = -a b B_{0}\,\omega\sin(\omega t).

Passo 6

Aplicar a Lei de Faraday para obter a fem. \n
  • Pela Lei de Faraday: \displaystyle \mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi_B}{dt}. Substituindo o resultado do passo anterior: \displaystyle \mathcal{E}(t) = -\big(-a b B_{0}\,\omega\sin(\omega t)\big). \n
  • Portanto \displaystyle \mathcal{E}(t)=a b B_{0}\,\omega\sin(\omega t). \n
    Comentário rápido sobre unidades: \mathcal{E} tem unidades de volt; B_{0} em tesla, a b em m^2, \omega em rad/s, \sin é adimensional — o produto dá volt (tesla·m^2·rad/s = V).

Passo 7

Escrever a potência instantânea dissipada na resistência. \n
  • A potência instantânea dissipada é \displaystyle P(t)=\frac{\mathcal{E}^2(t)}{R}. \n
  • Substituindo \mathcal{E}(t) do passo 6: \displaystyle P(t)=\frac{\big(a b B_{0}\,\omega\sin(\omega t)\big)^{2}}{R}. \n
  • Expandindo: \displaystyle P(t)=\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(\omega t)}{R}.

Passo 8

Calcular a potência média no tempo (definição e cálculo do integral). \n
  • A média temporal sobre um período T é \displaystyle \langle P\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}P(t)\,dt. \n
  • O período do sinal é \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}. \n
  • Portanto \displaystyle \langle P\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}\,\sin^{2}(\omega t)}{R}\,dt. \n
  • Como a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}/R é constante, sai da integral: \displaystyle \langle P\rangle =\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}}{R}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt.

Passo 9

Avaliar a média de \sin^{2}. \n
  • Sabemos que a média de \sin^{2} ao longo de um período é 1/2. Para ver isso rapidamente: \displaystyle \frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt = \frac{1}{T}\cdot\frac{T}{2}=\frac{1}{2}. (pode usar identidade \sin^{2}x=(1-\cos 2x)/2 ou fazer substituição u=\omega t). \n
  • Substituindo na expressão de \langle P\rangle obtemos \displaystyle \langle P\rangle =\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}}{R}\cdot\frac{1}{2}.

Passo 10

Escrever o resultado final de forma clara e comentar. \n
  • Assim a potência média gerada é \displaystyle \langle P\rangle =\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}}{2R}. \n
  • Comentário físico rápido: se o campo oscilante vem do movimento de um ímã sob o laço, o sistema está funcionando como um gerador — o fluxo variável produz uma fem e, se houver resistência, potência é dissipada (ou fornecida a uma carga).

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{E}(t)=a b B_{0}\,\omega\sin(\omega t)\n
(b) \displaystyle \langle P\rangle=\frac{a^{2} b^{2} B_{0}^{2}\,\omega^{2}}{2R}

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