- Considere agora que o campo é oscilante,
e a barra está fixa. (a) Calcule a fem induzida. (b) Calcule a potência elétrica média gerada,
, onde
é a resistência total do circuito. Resp:
Comentário: Se o campo oscilante é produzido pelo movimento de um magneto abaixo do circuito, trata-se de um gerador.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações (retirei os valores
e
da figura fornecida): \n
- O campo magnético é temporariamente variável e uniforme na região do circuito:
. \n - O circuito é um retângulo de lados
(vertical) e (horizontal) conforme a figura; a barra está fixa (ou seja, a área do laço é constante). \n - A resistência total do circuito é
. \n
O que se pede: \n
(a) Calcular a fem induzida. \n
(b) Calcular a potência média elétrica gerada.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): fluxo magnético e Lei de Faraday. \n
- O fluxo magnético através de uma superfície
é definido por . Aqui é o campo magnético e é o vetor área infinitesimal (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície). \n - Quando
é uniforme e perpendicular à superfície plana do laço, a integral simplifica para , onde é a área do laço. \n - A fem induzida (ou força eletromotriz) dada pela Lei de Faraday é
. \n
Explanação do sinal negativo: o menos vem da regra de Lenz — a corrente induzida tende a se opor à mudança do fluxo que a produziu. Aqui vamos aplicar a expressão matemática diretamente; o sinal negativo indica essa oposição.
Passo 3
Calcular a área do laço (dados da figura). \n
- A área do retângulo mostrado na figura é simplesmente o produto dos lados:
. \n
(Observação: eu peguei as letrase da figura fornecida.)
Passo 4
Escrever o fluxo magnético como função do tempo. \n
- Substituindo
e temos \n - Em forma mais direta:
Passo 5
Derivar o fluxo em relação ao tempo (passo a passo da derivação). \n
- Precisamos de
. Use a regra de derivação da função cosseno: . \n - Então
\n - Ou seja:
Passo 6
Aplicar a Lei de Faraday para obter a fem. \n
- Pela Lei de Faraday:
Substituindo o resultado do passo anterior: \n - Portanto
\n
Comentário rápido sobre unidades:tem unidades de volt; em tesla, em m^2, em rad/s, é adimensional — o produto dá volt (tesla·m^2·rad/s = V).
Passo 7
Escrever a potência instantânea dissipada na resistência. \n
- A potência instantânea dissipada é
\n - Substituindo
do passo 6: \n - Expandindo:
Passo 8
Calcular a potência média no tempo (definição e cálculo do integral). \n
- A média temporal sobre um período
é \n - O período do sinal é
\n - Portanto
\n - Como
é constante, sai da integral:
Passo 9
Avaliar a média de
. \n
- Sabemos que a média de
ao longo de um período é . Para ver isso rapidamente: (pode usar identidade ou fazer substituição ). \n - Substituindo na expressão de
obtemos
Passo 10
Escrever o resultado final de forma clara e comentar. \n
- Assim a potência média gerada é
\n - Comentário físico rápido: se o campo oscilante vem do movimento de um ímã sob o laço, o sistema está funcionando como um gerador — o fluxo variável produz uma fem e, se houver resistência, potência é dissipada (ou fornecida a uma carga).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)