1. Considere o mesmo sistema acima. Agora uma fonte AC alimenta o circuito com uma corrente oscilatória I(t)=I_{0} \cos (\omega t) (corrente positiva no sentido anti-horário). Tanto o trilho preto como a barra marrom experimentam força magnética, \mathbf{F}=I \Delta \mathbf{L} \times \mathbf{B}_{0}, porém apenas a barra está livre para se mover em resposta a essa força. (a) Escreva a equação de Newton da barra marrom (use M para sua massa, x(t) para sua posição (ver figura). (b) Verifique que x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}[1-\cos (\omega t)]+b satisfaz a eq. de Newton com condição inicial x(0)=b, v(0)=0 (barra inicialmente parada a uma distância b da extremidade esquerda). Resp: M \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=B_{0} a I_{0} \cos (\omega t).
Comentário: temos uma corrente AC gerando movimento, isso é um motor.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Escrever a equação de Newton da barra marrom (usar M para a massa e x(t) para a posição).
  • (b) Verificar que a função x(t)=\dfrac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}[1-\cos (\omega t)]+b satisfaz essa equação de Newton com as condições iniciais x(0)=b e v(0)=0.
Informações dadas e convenções do enunciado:
  • A corrente que percorre o circuito é \;I(t)=I_{0}\cos(\omega t)\; (corrente positiva no sentido anti-horário).
  • A força magnética sobre um segmento de comprimento \Delta\mathbf{L} percorrido por corrente I em campo magnético \mathbf{B}_{0} é \;\mathbf{F}=I\,\Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0}\;.
  • Apenas a barra marrom pode mover-se; os trilhos pretos são fixos.
  • Na figura, a barra tem comprimento igual à separação vertical a entre os trilhos (vou usar esse a como o comprimento efetivo do segmento que corta o campo).
  • A posição da barra ao longo da direção horizontal é x(t); a barra está inicialmente parada em x(0)=b.
  • Não foram mencionadas forças dissipativas (atrito) nem outras forças externas, portanto vamos considerá-las desprezíveis.

Passo 2

Entendendo a força magnética e reduzindo para uma equação unidimensional:
  • Fórmula do módulo do produto vetorial: a magnitude da força é
\|\mathbf{F}\|=I\,\|\Delta\mathbf{L}\|\,\|\mathbf{B}_{0}\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \Delta\mathbf{L} e \mathbf{B}_{0}.
  • No problema, \Delta\mathbf{L} (direção ao longo da barra, de comprimento a) é perpendicular ao campo \mathbf{B}_{0} (o desenho mostra \mathbf{B}_{0} saindo/entrando no plano), então \sin\theta=1. Assim o módulo da força é
F = I \, a \, B_{0}.
  • A direção dessa força (obtida pelo sentido de \Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0} e pela regra da mão direita) tem componente só na direção horizontal ao longo de x. Tomamos o sinal de F positivo para a direita quando I(t) é positivo (isto é compatível com a convenção dada).
  • Portanto, como a barra só se move na direção x, podemos tratar a força como uma força escalar unidimensional
F_x(t)=B_{0}\,a\,I(t)=B_{0}\,a\,I_{0}\cos(\omega t).

Passo 3

Escrevendo a equação de Newton:
  • Newton na direção x: massa vezes aceleração = força resultante na direção x. Em símbolos,
M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F_x(t).
  • Substituindo a expressão da força magnética obtemos a equação diferencial desejada:
M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=B_{0}\,a\,I_{0}\cos(\omega t).
  • Aqui cada símbolo significa:
    • M: massa da barra (kg),
    • x(t): posição horizontal da barra (m),
    • B_{0}: módulo do campo magnético (T),
    • a: comprimento vertical efetivo da barra que corta o campo (m),
    • I_{0}: amplitude da corrente (A),
    • \omega: frequência angular da corrente (rad/s).

Passo 4

Verificando que a função proposta satisfaz a equação:
  • A solução proposta é
x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]+b.
  • Calculamos a primeira derivada (velocidade) usando regra da cadeia:
\frac{dx}{dt}=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\cdot\bigl(0 -(-\sin(\omega t))\cdot\omega\bigr) =\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega}\sin(\omega t).
  • Calculamos a segunda derivada (aceleração):
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega}\cdot\omega\cos(\omega t) =\frac{B_{0} I_{0} a}{M}\cos(\omega t).
  • Multiplicando por M obtemos
M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=B_{0} a I_{0}\cos(\omega t),
que é exatamente a equação de Newton encontrada no Passo 3. Logo a função proposta satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Verificando as condições iniciais:
  • Avaliando x(0):
x(0)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\bigl[1-\cos(0)\bigr]+b =\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}(1-1)+b=b,
logo x(0)=b como exigido.
  • Avaliando a velocidade inicial v(0)=\dfrac{dx}{dt}\Big|_{t=0}:
v(0)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega}\sin(0)=0,
logo v(0)=0 como exigido.
  • Portanto a função proposta satisfaz tanto a equação de movimento quanto as condições iniciais.

Resposta

M\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=B_{0}\,a\,I_{0}\cos(\omega t)\n
x(t)=\dfrac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}\bigl[1-\cos(\omega t)\bigr]+b

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