Considere o mesmo sistema acima. Agora uma fonte AC alimenta o circuito com uma corrente oscilatória I(t)=I_{0} \cos (\omega t) (corrente positiva no sentido anti-horário). Tanto o trilho preto como a barra marrom experimentam força magnética, \mathbf{F}=I \Delta \mathbf{L} \times \mathbf{B}_{0}, porém apenas a barra está livre para se mover em resposta a essa força. (a) Escreva a equação de Newton da barra marrom (use M para sua massa, x(t) para sua posição (ver figura). (b) Verifique que x(t)=\frac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}[1-\cos (\omega t)]+b satisfaz a eq. de Newton com condição inicial x(0)=b, v(0)=0 (barra inicialmente parada a uma distância b da extremidade esquerda). Resp: M \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=B_{0} a I_{0} \cos (\omega t).
Comentário: temos uma corrente AC gerando movimento, isso é um motor.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) Escrever a equação de Newton da barra marrom (usar M para a massa e x(t) para a posição).
(b) Verificar que a função x(t)=\dfrac{B_{0} I_{0} a}{M \omega^{2}}[1-\cos (\omega t)]+b satisfaz essa equação de Newton com as condições iniciais x(0)=b e v(0)=0.
Informações dadas e convenções do enunciado:
A corrente que percorre o circuito é \;I(t)=I_{0}\cos(\omega t)\; (corrente positiva no sentido anti-horário).
A força magnética sobre um segmento de comprimento \Delta\mathbf{L} percorrido por corrente I em campo magnético \mathbf{B}_{0} é \;\mathbf{F}=I\,\Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0}\;.
Apenas a barra marrom pode mover-se; os trilhos pretos são fixos.
Na figura, a barra tem comprimento igual à separação vertical a entre os trilhos (vou usar esse a como o comprimento efetivo do segmento que corta o campo).
A posição da barra ao longo da direção horizontal é x(t); a barra está inicialmente parada em x(0)=b.
Não foram mencionadas forças dissipativas (atrito) nem outras forças externas, portanto vamos considerá-las desprezíveis.
Passo 2
Entendendo a força magnética e reduzindo para uma equação unidimensional:
Fórmula do módulo do produto vetorial: a magnitude da força é
onde \theta é o ângulo entre \Delta\mathbf{L} e \mathbf{B}_{0}.
No problema, \Delta\mathbf{L} (direção ao longo da barra, de comprimento a) é perpendicular ao campo \mathbf{B}_{0} (o desenho mostra \mathbf{B}_{0} saindo/entrando no plano), então \sin\theta=1. Assim o módulo da força é
F = I \, a \, B_{0}.
A direção dessa força (obtida pelo sentido de \Delta\mathbf{L}\times\mathbf{B}_{0} e pela regra da mão direita) tem componente só na direção horizontal ao longo de x. Tomamos o sinal de F positivo para a direita quando I(t) é positivo (isto é compatível com a convenção dada).
Portanto, como a barra só se move na direção x, podemos tratar a força como uma força escalar unidimensional