Considere agora a distribuição de probabilidades dada para uma variável aleatória x dada por
\wp(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} .
(a) Verifique a condição de normalização;
(b) Obtenha \bar{x};
(c) Obtenha \overline{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade de uma variável contínua x como
\wp(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\biggl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\biggr)
e pede:
(a) verificar que \int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x=1;
(b) calcular \bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x\,\wp(x)\,\mathrm{d}x;
(c) calcular \overline{x^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,\wp(x)\,\mathrm{d}x.
Para isso vamos usar a integral gaussiana padrão
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,\mathrm{d}u=\sqrt{\pi}
e definições de valor esperado.

Passo 2

Verificamos a normalização
\int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\biggl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\biggr)\mathrm{d}x.
Fazemos a mudança de variável
u=\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}, \quad \mathrm{d}x=\sigma\sqrt{2}\,\mathrm{d}u,
então
\int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \sigma\sqrt{2} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^{2}}\,\mathrm{d}u =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\pi} =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}=1.

Passo 3

Calculamos \bar{x}:
\bar{x} =\int_{-\infty}^{\infty}x\,\wp(x)\,\mathrm{d}x.
Novamente use u=(x-\mu)/(\sigma\sqrt{2}) e note que x=\mu+\sigma\sqrt{2}\,u. Como a parte em u é uma função ímpar multiplicada pela densidade simétrica, sua contribuição some, restando
\bar{x}=\mu\int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x =\mu\cdot1=\mu.

Passo 4

Calculamos \overline{x^{2}}:
\overline{x^{2}} =\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,\wp(x)\,\mathrm{d}x.
Escrevemos x=\mu+y com y=x-\mu, de modo que
x^{2}=(\mu+y)^{2}=\mu^{2}+2\mu\,y+y^{2}.
Logo
\overline{x^{2}} =\mu^{2}\int\wp +2\mu\int y\,\wp +\int y^{2}\wp,
onde \int y\,\wp=0 por simetria e
\int y^{2}\wp(x)\,\mathrm{d}x =\sigma^{2}
é o segundo momento central padrão. Assim
\overline{x^{2}}=\mu^{2}+0+\sigma^{2} =\mu^{2}+\sigma^{2}.

Resposta

(a) A densidade está normalizada, pois \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x=1.
(b) \bar{x}=\mu.
(c) \overline{x^{2}}=\mu^{2}+\sigma^{2}.

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