e pede:
(a) verificar que \int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x=1;
(b) calcular \bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x\,\wp(x)\,\mathrm{d}x;
(c) calcular \overline{x^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\,\wp(x)\,\mathrm{d}x.
Para isso vamos usar a integral gaussiana padrão
Novamente use u=(x-\mu)/(\sigma\sqrt{2}) e note que x=\mu+\sigma\sqrt{2}\,u. Como a parte em u é uma função ímpar multiplicada pela densidade simétrica, sua contribuição some, restando
(a) A densidade está normalizada, pois \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\wp(x)\,\mathrm{d}x=1.
(b) \bar{x}=\mu.
(c) \overline{x^{2}}=\mu^{2}+\sigma^{2}.