Considere que uma variável aleatória tenha uma distribuição de probabilidades dada por
\wp(x)=c e^{-\frac{x}{2}}
\operatorname{com} x \in[0, \infty).
(a) Determine a constante de normalização c;
(b) Determine o valor médio \bar{x};
(c) Encontre o valor quadrado médio \overline{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua
\wp(x)=c\,e^{-\frac{x}{2}},\quad x\in[0,\infty)
e pede:
  1. A constante de normalização c.
  2. O valor médio \bar{x}.
  3. O valor quadrado médio \overline{x^2}.
    Vamos usar integrais impróprias e a fórmula geral
\int_{0}^{\infty}x^n e^{-ax}\,dx=\frac{n!}{a^{\,n+1}}.

Passo 2

Impondo a normalização, temos
\int_{0}^{\infty}c\,e^{-\frac{x}{2}}\,dx=1.
Calculemos primeiro
\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}\,dx =\Bigl[-2\,e^{-\frac{x}{2}}\Bigr]_{0}^{\infty} =2.
Logo
c\cdot 2=1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac12.

Passo 3

O valor médio é
\bar{x} =\int_{0}^{\infty}x\,\wp(x)\,dx =\frac12\int_{0}^{\infty}x\,e^{-\frac{x}{2}}\,dx.
Usando a fórmula com n=1 e a=\tfrac12:
\int_{0}^{\infty}x\,e^{-\frac{x}{2}}\,dx =\frac{1!}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}} =\frac{1}{\tfrac14} =4.
Portanto
\bar{x}=\frac12\cdot4=2.

Passo 4

O valor quadrado médio é
\overline{x^2} =\int_{0}^{\infty}x^2\,\wp(x)\,dx =\frac12\int_{0}^{\infty}x^2\,e^{-\frac{x}{2}}\,dx.
Com n=2 e a=\tfrac12:
\int_{0}^{\infty}x^2\,e^{-\frac{x}{2}}\,dx =\frac{2!}{\bigl(\tfrac12\bigr)^{3}} =\frac{2}{\tfrac18} =16.
Logo
\overline{x^2}=\frac12\cdot16=8.

Resposta

(a) c = \frac12
(b) \bar{x} = 2
(c) \overline{x^2} = 8

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