Seja um sistema LIT causal, cuja relação entrada e saída seja dada pela seguinte equação de diferenças:
y[n]=2 y[n-1]+x[n]+12 x[n-1]
(1,5) Encontre e esboce a resposta impulsiva do sistema.

Passo 1

O exercício diz que temos um sistema causal LTI descrito pela equação de diferenças
y[n]=2,y[n-1]+x[n]+tfrac12,x[n-1]
O que ele pede é a resposta impulsiva , ou seja, a saída quando a entrada é o impulso .
Conteúdo necessário:
  • Definição de resposta impulsiva: colocar e achar .
  • Resolver recursivamente a equação de diferenças com condição inicial de repouso ( para ).
  • Entender que após alguns termos a contribuição do impulso some e sobra só a parte homógenea (exponencial).

Passo 2

Colocamos h[n]=2,h[n-1]+de. Então a saída vira
com para . Vamos calcular termo a termo.

Passo 3

Para h[0]=2,h[-1]+de:
h[1]=2,h[0]+de
Para h[n]=2,h[n-1], n>=2 :
Para : , logo
Isso gera progressão geométrica de razão 2 a partir de .

Passo 4

A solução geral fica então:
h[n]= 0, & n<0,[6pt] 1, & n=0,[4pt] 2,5;cdot2^,n-1, & n>=1
Em termos de degrau unitário h[n]=2^n,u[n];+;tfrac12,2^,n-1,u[n-1] , dá pra escrever de modo compacto:

Passo 5

Esboço de :
Valores:
n=0 → 1
n=1 → 2,5
n=2 → 5
n=3 → 10
… crescendo em potências de 2 (com o ajuste no primeiro ponto).
Um esboço ascii:
h[n]
 ↑
10 |           *  
 8 |  
 6 |       *  
 4 |  
 2 |   *      
 0 |*_________*_______→ n
    0   1   2   3

Resposta

boxed h[n]= 0, & n<0,[4pt] 1, & n=0,[4pt] 2,5,2^,n-1, & n>=1 ou h[n]=2^n,u[n]+tfrac12,2^,n-1,u[n-1]

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