Considere \alpha=\sqrt[3]{3}+1.
(a) (1 ponto) Determine o inverso de \alpha em \mathbb{Q}[\sqrt[3]{3}].
(b) \left(0,75\right. ponto) Calcule o grau da extensão \mathbb{Q}\left[\alpha^{-1}\right]. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá \alpha=\sqrt[3]{3}+1. São feitas duas perguntas claras:
(a) Determinar o inverso de \alpha visto como elemento de \mathbb{Q}[\sqrt[3]{3}].
(b) Calcular o grau da extensão \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big] sobre \mathbb{Q} e justificar.
Informações relevantes dadas:
\sqrt[3]{3} é um elemento do corpo \mathbb{Q}[\sqrt[3]{3}].
\alpha pertence a \mathbb{Q}[\sqrt[3]{3}] (pois é 1+\sqrt[3]{3}).
Queremos expressar \alpha^{-1} também como elemento de \mathbb{Q}[\sqrt[3]{3}] (ou seja, como combinação racional de 1,\sqrt[3]{3},(\sqrt[3]{3})^2).
Para (b) precisamos o grau do corpo \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big] sobre \mathbb{Q}.
Passo 2
Primeiro vamos fazer (a). Para simplificar a escrita, chamo
\theta=\sqrt[3]{3}.
Lembre que \theta^3=3 e que \mathbb{Q}[\theta] é um espaço vetorial sobre \mathbb{Q} com base \{1,\theta,\theta^2\}. Isso significa que qualquer elemento de \mathbb{Q}[\theta] pode ser escrito de forma única como A+B\theta+C\theta^2 com A,B,C\in\mathbb{Q}. Em particular, o inverso \alpha^{-1}=(1+\theta)^{-1} deve ter essa forma:
\alpha^{-1}=A+B\theta+C\theta^2
com A,B,C\in\mathbb{Q}. A tarefa é achar A,B,C.
Passo 3
Multiplicamos a expressão suposta por \alpha=1+\theta e impomos que o produto seja 1:
Esse polinômio em \theta deve ser igual ao número 1, que, escrito na base \{1,\theta,\theta^2\}, tem coordenadas (1,0,0). Então igualamos coordenadas para obter um sistema linear em A,B,C:
Como verificação rápida (útil na prova): multiplicando \alpha por essa expressão deve dar 1. Se fizeres (1+\theta)\cdot\tfrac{1}{4}(1-\theta+\theta^2) e expandires, usando \theta^3=3, recuperas 1 — isto confirma a conta.
Passo 6
Agora (b): calcular o grau de \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big] sobre \mathbb{Q}.
Observação importante: se x é um elemento não nulo de um corpo F, então o corpo gerado por x e por x^{-1} coincidem: \mathbb{Q}[x^{-1}]=\mathbb{Q}[x], porque x=(x^{-1})^{-1} e o campo gerado por x^{-1} é fechado por inversos. Aplicando isso a x=\alpha (que é não nulo), temos
Para encontrar [\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}] podemos usar que \alpha=1+\theta e \theta=\alpha-1. Assim \theta\in\mathbb{Q}[\alpha], logo \mathbb{Q}[\theta]\subseteq\mathbb{Q}[\alpha]. Mas já sabemos que [\mathbb{Q}[\theta]:\mathbb{Q}]=3 porque \theta=\sqrt[3]{3} tem polinômio mínimo x^3-3 irreducível sobre \mathbb{Q} (teste das raízes racionais ou conhecida irreducibilidade de x^3-3). Portanto a extensão \mathbb{Q}[\theta] tem grau 3. Como \mathbb{Q}[\theta]\subseteq\mathbb{Q}[\alpha]\subseteq\mathbb{Q}[\theta] (a segunda inclusão porque \alpha=1+\theta está em \mathbb{Q}[\theta]), concluímos que \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}[\theta] e assim
[\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]=3.
Pelo passo anterior isso também vale para \mathbb{Q}\big[\alpha^{-1}\big].
Alternativamente, pode-se ver diretamente o polinômio de \alpha: substituindo \theta=\alpha-1 em \theta^3-3=0 obtemos o polinômio mínimo candidato
(\!x-1\!)^3-3 = x^3-3x^2+3x-4.
Esse polinômio não tem raiz racional (testando os candidatos \pm1,\pm2,\pm4), logo é irreducível de grau 3, confirmando que o grau da extensão é 3.