(3.0 pontos) Vimos no nosso curso que as condições de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação entre as partes real e imaginária de uma função holomorfa. Determine a função complexa f=(u, v)=u+i v, definida em um conjunto aberto \Omega \subset \mathbb{C}, cuja a parte imaginária é dada por
v(x, y)=v(x+i y)=(x \sin y+\sin y+y \cos y) \exp (x)
e tal que f(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a parte imaginária v de uma função holomorfa f=u+iv definida em um aberto \Omega\subset\mathbb{C} e pede que se determine f sabendo que f(0)=2.
Informações fornecidas:
  • A parte imaginária é
v(x,y)=\bigl(x\sin y+\sin y+y\cos y\bigr)\exp(x).
  • Deve-se encontrar a parte real u(x,y) e, portanto, a função complexa f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y) em \Omega.
  • Condição adicional: f(0)=2 (isto é, f(0+ i0)=2).
O que o problema pede explicitamente:
  • Determinar u e, com isso, f, usando a informação dada em v e a condição f(0)=2.

Passo 2

Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR), que vamos usar para obter u a partir de v.
Se f=u+iv é holomorfa em \Omega e u,v têm derivadas parciais contínuas, então as equações de Cauchy–Riemann valem em \Omega:
u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x.
Aqui u_x significa \dfrac{\partial u}{\partial x}, v_y significa \dfrac{\partial v}{\partial y}, e assim por diante. A ideia prática na prova: conhecendo v, calcula-se v_x e v_y e depois se integra u_x ou u_y para obter u (aparecerá uma função de integração que depende só de y ou só de x, e essa função é encontrada impondo a outra equação de CR).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de v antes de derivar:
v(x,y)=\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr)e^{x}.
Agora calculamos as derivadas parciais de v.
Derivada em relação a x:
\begin{aligned} v_x(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\Bigl[e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr)\Bigr] \\\ &= e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr) + e^{x}\cdot\sin y \qquad(\text{produto / derivada de }(x+1)\text{ em }x)\\\ &= e^{x}\bigl((x+2)\sin y + y\cos y\bigr). \end{aligned}
Derivada em relação a y:
\begin{aligned} v_y(x,y) &= e^{x}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr)\\\ &= e^{x}\bigl((x+1)\cos y + \cos y - y\sin y\bigr)\\\ &= e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr). \end{aligned}

Passo 4

Pelo CR temos:
u_x(x,y)=v_y(x,y)=e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr),
u_y(x,y)=-v_x(x,y)=-e^{x}\bigl((x+2)\sin y + y\cos y\bigr).
Agora integramos u_x em relação a x (mantendo y fixo) para obter u até uma função de integração que depende só de y.

Passo 5

Integração de u_x em x. Precisamos calcular
u(x,y)=\int u_x(x,y)\,dx + \varphi(y),
onde \varphi(y) é uma função que depende só de y.
Calcule a integral
\int e^{x}\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr)\,dx.
Como \cos y e \sin y são constantes em relação a x, separamos:
\int e^{x}(x+2)\,dx\cdot\cos y \;-\; \int e^{x}\,dx\cdot (y\sin y).
Para \int e^{x}(x+2)\,dx use integração por partes ou a observação padrão \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C. Então
\int e^{x}(x+2)\,dx = \int x e^{x}\,dx + 2\int e^{x}\,dx = e^{x}(x-1) + 2e^{x} = e^{x}(x+1).
E
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto a integral completa é
e^{x}(x+1)\cos y \;-\; y\sin y\; e^{x}.
Somando a função de integração \varphi(y), obtemos
u(x,y)=e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + \varphi(y).

Passo 6

Agora usamos a outra equação de CR, u_y=-v_x, para determinar \varphi(y).
Calcule u_y a partir da expressão obtida:
\begin{aligned} u_y(x,y) &= e^{x}\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + \varphi'(y)\\\ &= e^{x}\bigl(-(x+1)\sin y -\sin y - y\cos y\bigr) + \varphi'(y)\\\ &= e^{x}\bigl(-(x+2)\sin y - y\cos y\bigr) + \varphi'(y). \end{aligned}
Pela CR isso deve ser igual a -v_x(x,y)=-e^{x}\bigl((x+2)\sin y + y\cos y\bigr). Assim
e^{x}\bigl(-(x+2)\sin y - y\cos y\bigr) + \varphi'(y) = -e^{x}\bigl((x+2)\sin y + y\cos y\bigr).
As partes com e^{x} se cancelam, sobrando
\varphi'(y)=0.
Logo \varphi(y) é constante: \varphi(y)=C para alguma constante real C.
Assim
u(x,y)=e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + C.

Passo 7

Usamos a condição f(0)=2. Avaliando em (x,y)=(0,0):
Calcule v(0,0):
v(0,0)=\bigl((0+1)\sin 0 + 0\cdot\cos 0\bigr)e^{0}=0.
Calcule u(0,0):
u(0,0)=e^{0}\bigl((0+1)\cos 0 - 0\cdot\sin 0\bigr)+C = 1 + C.
Como f(0)=u(0,0)+i v(0,0)=1+C + i\cdot 0 e isso deve ser igual a 2, obtemos
1+C=2 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto
u(x,y)=e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + 1.

Passo 8

Escrevendo f=u+iv com C=1:
\begin{aligned} f(x+iy) &= e^{x}\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + 1 \\\ &\qquad + i\,e^{x}\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr). \end{aligned}
Repare que o trecho entre colchetes pode ser reunido como produto complexo:
\bigl((x+1)+i y\bigr)\bigl(\cos y + i\sin y\bigr) = (x+1)\cos y - y\sin y + i\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr).
Logo, com z=x+iy,
f(z)=e^{x}e^{i y}(x+1+i y) + 1 = e^{z}(z+1) + 1.
Uma verificação rápida: f(0)=e^{0}(0+1)+1=1+1=2, conforme exigido.

Resposta

f(z)=e^{z}(z+1)+1

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