(3.0 pontos) Vimos no nosso curso que as condições de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação entre as partes real e imaginária de uma função holomorfa. Determine a função complexa
, definida em um conjunto aberto
, cuja a parte imaginária é dada por
e tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a parte imaginária
de uma função holomorfa
definida em um aberto
e pede que se determine
sabendo que
.
Informações fornecidas:
- A parte imaginária é
- Deve-se encontrar a parte real
e, portanto, a função complexa em . - Condição adicional:
(isto é, ).
O que o problema pede explicitamente:
- Determinar
e, com isso, , usando a informação dada em e a condição .
Passo 2
Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR), que vamos usar para obter
a partir de
.
Se
é holomorfa em
e
têm derivadas parciais contínuas, então as equações de Cauchy–Riemann valem em
:
Aqui
significa
,
significa
, e assim por diante. A ideia prática na prova: conhecendo
, calcula-se
e
e depois se integra
ou
para obter
(aparecerá uma função de integração que depende só de
ou só de
, e essa função é encontrada impondo a outra equação de CR).
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
antes de derivar:
Agora calculamos as derivadas parciais de
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Pelo CR temos:
Agora integramos
em relação a
(mantendo
fixo) para obter
até uma função de integração que depende só de
.
Passo 5
Integração de
em
. Precisamos calcular
onde
é uma função que depende só de
.
Calcule a integral
Como
e
são constantes em relação a
, separamos:
Para
use integração por partes ou a observação padrão
. Então
E
Portanto a integral completa é
Somando a função de integração
, obtemos
Passo 6
Agora usamos a outra equação de CR,
, para determinar
.
Calcule
a partir da expressão obtida:
Pela CR isso deve ser igual a
. Assim
As partes com
se cancelam, sobrando
Logo
é constante:
para alguma constante real
.
Assim
Passo 7
Usamos a condição
. Avaliando em
:
Calcule
:
Calcule
:
Como
e isso deve ser igual a
, obtemos
Portanto
Passo 8
Escrevendo
com
:
Repare que o trecho entre colchetes pode ser reunido como produto complexo:
Logo, com
,
Uma verificação rápida:
, conforme exigido.