Obtenha o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro p da distribuição Geométrica, cuja função de probabilidade é dada por P(X=x)=(1-p)^{x-1} p, para x=1,2, \ldots.

Passo 1

O enunciado pede: obter o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro p da distribuição geométrica com função de probabilidade
P(X=x)=(1-p)^{x-1}p,\qquad x=1,2,\ldots.
Informações dadas e o que usamos:
  • Temos uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n i.i.d. com essa distribuição geométrica (isso é implícito quando se pede um estimador).
  • Definimos a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
  • O objetivo: encontrar \widehat{p}_{\text{MM}} (estimador pelo método dos momentos) em função de \overline{X}.

Passo 2

Breve explicação do método dos momentos (pra coroar a prova e entender direitinho):
  • A ideia é usar momentos teóricos da distribuição (por exemplo, a esperança E[X]) e igualá-los aos momentos empíricos (por exemplo, \overline{X}).
  • Com um parâmetro p só, usamos o primeiro momento: igualamos o primeiro momento teórico E[X] à média amostral \overline{X} e resolvemos para p.
  • Em fórmulas: queremos resolver a equação
\overline{X}=E[X]
para p.

Passo 3

Agora vamos calcular o momento teórico E[X] da geométrica (mostrando todos os passos):
  • Por definição,
E[X]=\sum_{x=1}^\infty x\,(1-p)^{x-1}p.
  • Use a soma conhecida: para |r|<1 vale
\sum_{x=1}^\infty x r^{x-1}=\frac{1}{(1-r)^2}.
(Justificação rápida: \sum_{x=0}^\infty r^x=1/(1-r). Diferenciando ambos os lados em relação a r obtém-se \sum_{x=1}^\infty x r^{x-1}=1/(1-r)^2.)
  • No nosso caso, r=1-p e |1-p|<1 pois 0<p<1. Assim
E[X]=p\cdot\frac{1}{\bigl(1-(1-p)\bigr)^2}.
  • Simplificando o denominador:
1-(1-p)=p, \qquad\text{logo}\qquad E[X]=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}.

Passo 4

Aplicando o método dos momentos:
  • Igualamos a média amostral à esperança teórica:
\overline{X} = E[X] = \frac{1}{p}.
  • Resolver para p:
p=\frac{1}{\overline{X}}.
  • Portanto o estimador pelo método dos momentos é
\widehat{p}_{\text{MM}}=\frac{1}{\overline{X}}.

Passo 5

Comentários práticos e intuitivos (úteis na prova):
  • Interpretação: se a média amostral é grande, a probabilidade de sucesso p estimada é pequena; isso faz sentido para a geométrica com suporte em \{1,2,\dots\}.
  • Propriedades rápidas:
    • Consistência: pela Lei dos Grandes Números \overline{X}\overset{p}{\to}E[X]=1/p, então \widehat{p}_{\text{MM}}=1/\overline{X}\overset{p}{\to}p. Logo é consistente.
    • Viés: em geral \mathbb{E}[1/\overline{X}]\neq 1/\mathbb{E}[\overline{X}], então \widehat{p}_{\text{MM}} não é, em geral, não-viesado; mas a consistência é suficiente em muitos contextos de prova ou prática.

Resposta

\displaystyle \widehat{p}_{\text{MM}}=\frac{1}{\overline{X}}

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