Obtenha o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro p da distribuição Geométrica, cuja função de probabilidade é dada por P(X=x)=(1-p)^{x-1} p, para x=1,2, \ldots.
Passo 1
O enunciado pede: obter o estimador pelo método dos momentos para o parâmetro p da distribuição geométrica com função de probabilidade
P(X=x)=(1-p)^{x-1}p,\qquad x=1,2,\ldots.
Informações dadas e o que usamos:
Temos uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n i.i.d. com essa distribuição geométrica (isso é implícito quando se pede um estimador).
Definimos a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
O objetivo: encontrar \widehat{p}_{\text{MM}} (estimador pelo método dos momentos) em função de \overline{X}.
Passo 2
Breve explicação do método dos momentos (pra coroar a prova e entender direitinho):
A ideia é usar momentos teóricos da distribuição (por exemplo, a esperança E[X]) e igualá-los aos momentos empíricos (por exemplo, \overline{X}).
Com um parâmetro p só, usamos o primeiro momento: igualamos o primeiro momento teórico E[X] à média amostral \overline{X} e resolvemos para p.
Em fórmulas: queremos resolver a equação
\overline{X}=E[X]
para p.
Passo 3
Agora vamos calcular o momento teórico E[X] da geométrica (mostrando todos os passos):
Por definição,
E[X]=\sum_{x=1}^\infty x\,(1-p)^{x-1}p.
Use a soma conhecida: para |r|<1 vale
\sum_{x=1}^\infty x r^{x-1}=\frac{1}{(1-r)^2}.
(Justificação rápida: \sum_{x=0}^\infty r^x=1/(1-r). Diferenciando ambos os lados em relação a r obtém-se \sum_{x=1}^\infty x r^{x-1}=1/(1-r)^2.)
Comentários práticos e intuitivos (úteis na prova):
Interpretação: se a média amostral é grande, a probabilidade de sucesso p estimada é pequena; isso faz sentido para a geométrica com suporte em \{1,2,\dots\}.
Propriedades rápidas:
Consistência: pela Lei dos Grandes Números \overline{X}\overset{p}{\to}E[X]=1/p, então \widehat{p}_{\text{MM}}=1/\overline{X}\overset{p}{\to}p. Logo é consistente.
Viés: em geral \mathbb{E}[1/\overline{X}]\neq 1/\mathbb{E}[\overline{X}], então \widehat{p}_{\text{MM}} não é, em geral, não-viesado; mas a consistência é suficiente em muitos contextos de prova ou prática.