Considere os anagramas formados a partir de PIRATARIA.
d) Quantos começam e terminam por vogal?
d) Quantos começam e terminam por vogal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir quantos anagramas (ou seja, rearranjos) podem ser formados com as letras da palavra “PIRATARIA” que começam e terminam com vogal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre permutação com repetição, já que algumas letras se repetem na palavra. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as letras da palavra “PIRATARIA”:
- Letras: P, I, R, A, T, A, R, I, A
- Total de letras: 9
Agora, vamos contar quantas vezes cada letra aparece:
- P: 1 vez
- I: 2 vezes
- R: 2 vezes
- A: 3 vezes
- T: 1 vez
As vogais na palavra são: A e I. Temos 3 letras ‘A’ e 2 letras ‘I’, totalizando 5 vogais. As consoantes são: P, R, R, T.
Passo 3
Queremos que o anagrama comece e termine com vogal. Isso significa que a primeira e a última posição devem ser ocupadas por uma das vogais disponíveis (A ou I). Vamos pensar nesses dois lugares primeiro e depois ver quantas maneiras temos de arrumar as letras no meio.
Passo 4
Vamos calcular quantas maneiras podemos escolher as vogais para a primeira e a última posição. Como temos letras repetidas, precisamos considerar as combinações possíveis:
-
Primeira letra ‘A’ e última letra ‘A’:
- Temos 3 letras ‘A’, então para a primeira letra usamos uma ‘A’ e para a última também uma ‘A’. Mas como são iguais, precisamos ajustar a contagem depois.
-
Primeira letra ‘A’ e última letra ‘I’:
- Usamos uma ‘A’ para a primeira posição e uma ‘I’ para a última.
-
Primeira letra ‘I’ e última letra ‘A’:
- Usamos uma ‘I’ para a primeira posição e uma ‘A’ para a última.
-
Primeira letra ‘I’ e última letra ‘I’:
- Temos 2 letras ‘I’, então usamos uma para a primeira e outra para a última.
Passo 5
Agora, vamos calcular quantas opções temos para cada caso e depois multiplicar pelas diferentes maneiras de arrumar as letras do meio.
-
A no início e A no fim:
- Restam 3-2=1 letra ‘A’, 2 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’ para o meio.
- Total de letras restantes: 7
- Fórmula:
-
A no início e I no fim:
- Restam 3-1=2 letras ‘A’, 2-1=1 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
- Total de letras restantes: 7
- Fórmula:
-
I no início e A no fim:
- Semelhante ao caso anterior.
- Restam 3-1=2 letras ‘A’, 2-1=1 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
- Total de letras restantes: 7
- Fórmula:
-
I no início e I no fim:
- Restam 3 ‘A’, 2-2=0 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
- Total de letras restantes: 7
- Fórmula:
Passo 6
Vamos calcular cada caso:
-
A no início e A no fim:
-
A no início e I no fim:
-
I no início e A no fim:
-
I no início e I no fim:
Agora, somamos todos os casos:
Resposta
Existem 4.200 anagramas formados a partir de “PIRATARIA” que começam e terminam por vogal.