Considere os anagramas formados a partir de PIRATARIA.
d) Quantos começam e terminam por vogal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer descobrir quantos anagramas (ou seja, rearranjos) podem ser formados com as letras da palavra “PIRATARIA” que começam e terminam com vogal. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre permutação com repetição, já que algumas letras se repetem na palavra. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as letras da palavra “PIRATARIA”:
  • Letras: P, I, R, A, T, A, R, I, A
  • Total de letras: 9
Agora, vamos contar quantas vezes cada letra aparece:
  • P: 1 vez
  • I: 2 vezes
  • R: 2 vezes
  • A: 3 vezes
  • T: 1 vez
As vogais na palavra são: A e I. Temos 3 letras ‘A’ e 2 letras ‘I’, totalizando 5 vogais. As consoantes são: P, R, R, T.

Passo 3

Queremos que o anagrama comece e termine com vogal. Isso significa que a primeira e a última posição devem ser ocupadas por uma das vogais disponíveis (A ou I). Vamos pensar nesses dois lugares primeiro e depois ver quantas maneiras temos de arrumar as letras no meio.

Passo 4

Vamos calcular quantas maneiras podemos escolher as vogais para a primeira e a última posição. Como temos letras repetidas, precisamos considerar as combinações possíveis:
  1. Primeira letra ‘A’ e última letra ‘A’:
    • Temos 3 letras ‘A’, então para a primeira letra usamos uma ‘A’ e para a última também uma ‘A’. Mas como são iguais, precisamos ajustar a contagem depois.
  2. Primeira letra ‘A’ e última letra ‘I’:
    • Usamos uma ‘A’ para a primeira posição e uma ‘I’ para a última.
  3. Primeira letra ‘I’ e última letra ‘A’:
    • Usamos uma ‘I’ para a primeira posição e uma ‘A’ para a última.
  4. Primeira letra ‘I’ e última letra ‘I’:
    • Temos 2 letras ‘I’, então usamos uma para a primeira e outra para a última.

Passo 5

Agora, vamos calcular quantas opções temos para cada caso e depois multiplicar pelas diferentes maneiras de arrumar as letras do meio.
  1. A no início e A no fim:
    • Restam 3-2=1 letra ‘A’, 2 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’ para o meio.
    • Total de letras restantes: 7
    • Fórmula: dfrac7!1! times 2! times 2! times 1! times 1!
  2. A no início e I no fim:
    • Restam 3-1=2 letras ‘A’, 2-1=1 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
    • Total de letras restantes: 7
    • Fórmula: dfrac7!2! times 1! times 2! times 1! times 1!
  3. I no início e A no fim:
    • Semelhante ao caso anterior.
    • Restam 3-1=2 letras ‘A’, 2-1=1 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
    • Total de letras restantes: 7
    • Fórmula: dfrac7!2! times 1! times 2! times 1! times 1!
  4. I no início e I no fim:
    • Restam 3 ‘A’, 2-2=0 ‘I’, 2 ‘R’, 1 ‘P’ e 1 ‘T’.
    • Total de letras restantes: 7
    • Fórmula: dfrac7!3! times 2! times 1! times 1!

Passo 6

Vamos calcular cada caso:
  1. A no início e A no fim:
    dfrac7!1! times 2! times 2! times 1! times 1! = dfrac50401 times 2 times 2 times 1 times 1 = dfrac50404 = 1260
  2. A no início e I no fim:
    dfrac7!2! times 1! times 2! times 1! times 1! = dfrac50402 times 1 times 2 times 1 times 1 = dfrac50404 = 1260
  3. I no início e A no fim:
    dfrac7!2! times 1! times 2! times 1! times 1! = dfrac50402 times 1 times 2 times 1 times 1 = dfrac50404 = 1260
  4. I no início e I no fim:
    dfrac7!3! times 2! times 1! times 1! = dfrac50406 times 2 times 1 times 1 = dfrac504012 = 420
Agora, somamos todos os casos:
1260 + 1260 + 1260 + 420 = 4200

Resposta

Existem 4.200 anagramas formados a partir de “PIRATARIA” que começam e terminam por vogal.

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