Para simular a dispersão de material tóxico, vamos imaginar que um tambor com 42 galões de água é lançado ao oceano e, então, bem misturado com as águas de todos os oceanos da Terra.
Se eu for para Newport depois disso e pegar uma colher de chá da água do oceano, qual será a probabilidade de eu encontrar uma das moléculas originais, ou quantas moléculas devo esperar encontrar?
Dados:
  • A distância do Pólo Norte ao Equador é de 10 milhões de metros. Foi assim que se escolheu o tamanho do metro.
  • Dois terços da superfície do planeta são cobertos por água.
  • A profundidade média dos oceanos é de 3.000 m .
  • 1 mol de uma substância contém 6,023 times 10^23 moléculas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um tambor com 42 galões de água lançado no oceano, que se mistura completamente com todas as águas dos oceanos da Terra. A pergunta é: se pegarmos uma colher de chá da água do oceano depois disso, qual é a probabilidade de encontrar uma das moléculas originais dos 42 galões, ou quantas moléculas devemos esperar encontrar?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de diluição e probabilidade, além de usar dados como a quantidade de moléculas em um mol (Número de Avogadro) e as dimensões dos oceanos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os 42 galões de água para litros, pois é uma unidade mais conveniente para nossos cálculos. Sabemos que 1 galão é aproximadamente 3,785 litros.
42 galões times 3,785 litrosgalão approx 159 litros õã

Passo 3

Agora, precisamos calcular o volume total dos oceanos da Terra. Sabemos que:
  • Dois terços da superfície da Terra são cobertos por água.
  • A distância do Pólo Norte ao Equador é de 10 milhões de metros, o que nos ajuda a estimar o raio da Terra.
  • A profundidade média dos oceanos é de 3.000 metros.
Primeiro, vamos calcular a área da superfície da Terra. Considerando a distância do Pólo Norte ao Equador como 10 milhões de metros, podemos estimar o raio Circunferência = 2pi R = 4 times Distância Pólo a Equador = 4 times 10^7 m da Terra usando:
R = 4 times 10^72pi approx 6,366 times 10^6 m êâó
A = 4pi R^2 approx 4pi (6,366 times 10^6)^2 approx 5,1 times 10^14 m^2
A área da superfície da Terra é:
Aoceano = 23 times 5,1 times 10^14 approx 3,4 times 10^14 m^2
Agora, como dois terços dessa área são cobertos por água:
Voceano = Aoceano times 3.000 m approx 1,02 times 10^18 m^3
Multiplicando pela profundidade média:
Voceano approx 1,02 times 10^21 litros
Convertendo para litros (1 m³ = 1.000 litros):

Passo 4

Com o volume total dos oceanos conhecido, podemos calcular a fração que os 159 litros adicionados representam:
Fração = 1591,02 times 10^21 approx 1,56 times 10^-19 çã
Isso significa que qualquer molécula dos 42 galões tem uma probabilidade de aproximadamente de estar na colher de chá que pegarmos.

Passo 5

Agora, vamos determinar quantas moléculas devemos esperar encontrar nessa colher de chá. Primeiro, precisamos saber o volume de uma colher de chá em litros. Normalmente, uma colher de chá contém cerca de 5 mililitros (mL), ou 0,005 litros.
A quantidade de moléculas na colher de chá pode ser calculada usando a densidade da água e o Número de Avogadro. A densidade da água é aproximadamente 1 g/mL, então 5 mL de água pesam cerca de 5 g.
Sabendo que a massa molar da água é 18 g/mol:
Número de mo<=s = 5 g18 g/mol approx 0,277 mol ú
E o número de moléculas:
Número de moléculas = 0,277 mol times 6,023 times 10^23 moléculasmol approx 1,67 times 10^23 moléculas úééé

Passo 6

Multiplicando a fração que representa a probabilidade de uma molécula ser das 42 galões pelo total de moléculas na colher:
Número esperado de moléculas = 1,67 times 10^23 times 1,56 times 10^-19 approx 2,6 times 10^4 úé

Resposta

Você deve esperar encontrar aproximadamente moléculas das 42 galões originais na sua colher de chá de água do oceano.

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