Sobre uma circunferência marcam-se dez pontos distintos.
b) Quantos quadriláteros convexos podem ser construídos com vértices em quatro desses pontos?
b) Quantos quadriláteros convexos podem ser construídos com vértices em quatro desses pontos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma circunferência com dez pontos diferentes marcados nela. A pergunta é: quantos quadriláteros convexos podemos formar escolhendo quatro desses pontos como vértices. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação na matéria de probabilidade e contagem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um quadrilátero convexo. Um quadrilátero convexo é aquele onde todos os ângulos internos são menores que 180 graus, e nenhuma das diagonais está fora do próprio quadrilátero. No caso de pontos em uma circunferência, qualquer quatro pontos escolhidos vão formar um quadrilátero convexo automaticamente, porque todos estão na mesma “linha curva” e não há como formar um ângulo maior que 180 graus.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas maneiras podemos escolher quatro pontos entre os dez disponíveis. Para isso, usamos o conceito de combinação, que é uma forma de contar quantos grupos distintos podemos formar sem se importar com a ordem dos elementos. A fórmula da combinação é:
Onde:
- $ n $ é o total de elementos,
- $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos,
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 4
Aplicando a fórmula com $ n = 10 $ e $ k = 4 $:
Vamos simplificar:
Então:
Resposta
Podemos construir 210 quadriláteros convexos com vértices em quatro dos dez pontos marcados na circunferência.