Considere um anel de raio a e massa M uniformemente distribuída. Ao longo do seu eixo principal e em uma posição dista z do centro do anel, é colocada uma massa pontual m que pode mover-se livremente ao longo do eixo principal do anel.
(a) Encontre a força do anel sobre a massa pontual.
(b) Encontre a equação de movimento de m. O sistema é M.H.S.? Explique.
(c) Caso z / a \approx 0, mostre que o sistema é um M.H.S.
(d) No caso do item anterior, encontre o período das oscilações.

Passo 1

O enunciado dá um anel de raio a e massa total M com massa distribuída uniformemente. Ao longo do eixo do anel, a uma distância z do centro, está uma massa pontual m que pode mover-se livremente ao longo desse eixo. As perguntas são claramente:
(a) Encontrar a força que o anel exerce sobre a massa pontual m (em função de a, M, m e z).
(b) Escrever a equação de movimento de m e responder se o sistema é um movimento harmônico simples (M.H.S.). Explicar.
(c) Mostrar que, no caso z/a \approx 0, o sistema é um M.H.S.
(d) No caso do item (c), encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes fornecidas: o anel é simétrico e a massa está no eixo do anel a distância z; a massa do anel é M (distribuição uniforme), a massa pontual é m, o raio do anel é a. Não há outras forças externas mencionadas além da gravitação newtoniana entre as massas.

Passo 2

Vamos calcular a força gravitacional através de um procedimento passo a passo bem mastigado. Primeiro, a fórmula fundamental: a lei da gravitação universal de Newton diz que a força entre duas massas pontuais m_1 e m_2 separadas por distância r tem módulo
F = G\frac{m_1 m_2}{r^2},
onde G é a constante gravitacional. Para um corpo distribuído (o anel) a gente integra as contribuições de cada elemento de massa do anel.
Por simetria: o anel é circular e a massa m está no eixo; as componentes da força que são perpendiculares ao eixo (ou seja, radiais) provenientes de elementos opostos do anel se cancelam. Portanto sobra apenas a componente da força ao longo do eixo (eixo z). Nossa tarefa é calcular essa componente axial resultante.
Escolhemos um elemento de massa do anel dm. A distância entre o elemento dm e a massa m é a mesma para todos os pontos do anel e vale
R = \sqrt{a^2 + z^2}.
A direção do vetor força entre dm e m faz um ângulo \theta com o eixo, onde \cos\theta = \dfrac{z}{R} (porque a projeção ao longo do eixo é z). Assim a componente axial (em módulo) da força de dm sobre m é
dF_z = G\frac{m\,dm}{R^2}\cos\theta.
Agora precisamos expressar dm. Como a massa do anel é uniforme, a densidade linear \lambda (massa por comprimento) é
\lambda = \frac{M}{2\pi a}.
Um pequeno arco de ângulo d\varphi tem comprimento a\,d\varphi, logo
dm = \lambda \, a \, d\varphi = \frac{M}{2\pi a}\, a\, d\varphi = \frac{M}{2\pi}\, d\varphi.
Substituímos R e \cos\theta nas expressões e escrevemos dF_z explicitamente. Vou montar a expressão antes de integrar sobre todo o anel (ou seja, \varphi de 0 a 2\pi).

Passo 3

Substituindo R=\sqrt{a^2+z^2} e \cos\theta=\dfrac{z}{R} em dF_z e o dm encontrado, temos
dF_z = G\frac{m\,dm}{R^2}\cdot\frac{z}{R} = G m z \frac{dm}{R^3}.
Agora substituir dm=\dfrac{M}{2\pi}\,d\varphi e integrar ao longo do anel ( \varphi de 0 a 2\pi). Como R e z são constantes em relação a \varphi, a integração é imediata:
F_z = \int_{0}^{2\pi} dF_z = G m z \frac{1}{R^3} \int_{0}^{2\pi} dm = G m z \frac{1}{R^3} \cdot M,
onde usei \int_0^{2\pi} dm = M. Logo o módulo da força axial é
F_z = G\frac{m M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Agora a direção: a força é atrativa, ou seja, aponta em sentido de diminuir z. Se escolhermos o eixo tal que o centro do anel está em z=0 e a massa de teste está em coordenada z, então o vetor força aponta para o centro e seu sinal é negativo no sentido de z positivo. Portanto, escrevendo com sinal,
F_z = -G\frac{m M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Esse é o resultado do item (a): força ao longo do eixo. Vou explicar cada termo: G é constante gravitacional, m e M são massas, z a posição axial da massa pontual, e o denominador (a^2+z^2)^{3/2} vem da geometria da distância ao cubo necessária para a componente axial (distância R ao cubo aparece por causa de combinar o 1/R^2 da força com o \cos\theta = z/R).

Passo 4

Agora a equação de movimento (item b). Aplicamos a segunda lei de Newton ao longo do eixo z:
m\ddot z = F_z = -G\frac{m M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Dividindo por m,
\ddot z = -G\frac{M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Esse é o movimento efetivo regido por uma equação diferencial de segunda ordem (não linear em geral).
Para verificar se é M.H.S. (movimento harmônico simples) precisamos checar se a aceleração é proporcional a -z com uma constante positiva independente de z, ou seja, se existe k>0 tal que \ddot z = -\dfrac{k}{m} z (forma linear). A expressão obtida tem a forma \ddot z = -\dfrac{GM}{(a^2+z^2)^{3/2}} z. O fator multiplicativo dependente de z é
\frac{GM}{(a^2+z^2)^{3/2}},
que depende de z quando z não é pequeno. Portanto, em geral NÃO é um M.H.S., porque a constante de proporcionalidade entre \ddot z e -z varia com z (o sistema é não linear). Só em situações onde esse fator pode ser aproximado por uma constante (por exemplo, z pequeno) teremos M.H.S. Então, resposta direta: o sistema não é M.H.S. em geral. Vou agora mostrar a aproximação para z/a\approx 0.

Passo 5

Aproximação para z/a \approx 0 (item c). Quero linearizar a expressão da aceleração em torno de z=0. Escrevo o denominador assim:
(a^2+z^2)^{3/2} = a^3\left(1+\frac{z^2}{a^2}\right)^{3/2}.
Defina u=\dfrac{z^2}{a^2}. Para z/a pequeno, u é pequeno. A expansão em série de Taylor para (1+u)^{-3/2} até a ordem necessária é
(1+u)^{-3/2} = 1 - \frac{3}{2}u + O(u^2).
Como u é da ordem z^2, multiplicar por z (como aparece na força) dá termos de ordem z e de ordem z^3; o termo linear em z vem apenas do primeiro termo da expansão. Então
\frac{1}{(a^2+z^2)^{3/2}} = \frac{1}{a^3}\left(1 - \frac{3}{2}\frac{z^2}{a^2} + \cdots\right).
Multiplicando por z na expressão da força/acontecimento na aceleração:
\ddot z = -G M \cdot \frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}} \approx -G M \cdot \frac{z}{a^3}\left(1 - \frac{3}{2}\frac{z^2}{a^2} + \cdots\right).
Ao reter apenas o termo linear em z (o menor em potência que determina o comportamento próximo do equilíbrio z=0), obtemos
\ddot z \approx -\frac{G M}{a^3}\, z.
Essa é exatamente a forma de um oscilador harmônico linear: \ddot z + \omega^2 z = 0 com
\omega^2 = \frac{G M}{a^3}.
Portanto, para pequenas deslocações z (isto é, z/a\approx 0), o sistema comporta-se como um M.H.S. — a força é aproximadamente proporcional a -z com constante de proporcionalidade \dfrac{GM}{a^3}.

Passo 6

Período das oscilações (item d). Para um M.H.S. com equação
\ddot z + \omega^2 z = 0,
o período é
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Usando \omega = \sqrt{\dfrac{G M}{a^3}}, obtemos
T = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G M}}.
Esse é o período para pequenas oscilações ao longo do eixo do anel em torno do centro.
Força final: já mostrei como obter a expressão exata da força, a equação de movimento e a linearização para pequenas amplitudes que leva ao M.H.S. e ao período acima.

Resposta

(a) F_z = -G\displaystyle\frac{m M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\n
(b) \ddot z = -G\displaystyle\frac{M z}{(a^2+z^2)^{3/2}}. Não é M.H.S. em geral (é não linear). \n
(c) Para z/a\approx 0, \ddot z \approx -\dfrac{G M}{a^3}z, logo o sistema é um M.H.S. para pequenas amplitudes.\n
(d) T = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{G M}}.

Exercícios relacionados