Considere um anel de raio
e massa
uniformemente distribuída. Ao longo do seu eixo principal e em uma posição dista
do centro do anel, é colocada uma massa pontual
que pode mover-se livremente ao longo do eixo principal do anel.
(a) Encontre a força do anel sobre a massa pontual.
(b) Encontre a equação de movimento de
. O sistema é M.H.S.? Explique.
(c) Caso
, mostre que o sistema é um M.H.S.
(d) No caso do item anterior, encontre o período das oscilações.
(a) Encontre a força do anel sobre a massa pontual.
(b) Encontre a equação de movimento de
(c) Caso
(d) No caso do item anterior, encontre o período das oscilações.
Passo 1
O enunciado dá um anel de raio
e massa total
com massa distribuída uniformemente. Ao longo do eixo do anel, a uma distância
do centro, está uma massa pontual
que pode mover-se livremente ao longo desse eixo. As perguntas são claramente:
(a) Encontrar a força que o anel exerce sobre a massa pontual
(em função de
,
,
e
).
(b) Escrever a equação de movimento de e responder se o sistema é um movimento harmônico simples (M.H.S.). Explicar.
(c) Mostrar que, no caso , o sistema é um M.H.S.
(d) No caso do item (c), encontrar o período das oscilações.
(b) Escrever a equação de movimento de
(c) Mostrar que, no caso
(d) No caso do item (c), encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes fornecidas: o anel é simétrico e a massa está no eixo do anel a distância
; a massa do anel é
(distribuição uniforme), a massa pontual é
, o raio do anel é
. Não há outras forças externas mencionadas além da gravitação newtoniana entre as massas.
Passo 2
Vamos calcular a força gravitacional através de um procedimento passo a passo bem mastigado. Primeiro, a fórmula fundamental: a lei da gravitação universal de Newton diz que a força entre duas massas pontuais
e
separadas por distância
tem módulo
onde
é a constante gravitacional. Para um corpo distribuído (o anel) a gente integra as contribuições de cada elemento de massa do anel.
Por simetria: o anel é circular e a massa
está no eixo; as componentes da força que são perpendiculares ao eixo (ou seja, radiais) provenientes de elementos opostos do anel se cancelam. Portanto sobra apenas a componente da força ao longo do eixo (eixo
). Nossa tarefa é calcular essa componente axial resultante.
Escolhemos um elemento de massa do anel
. A distância entre o elemento
e a massa
é a mesma para todos os pontos do anel e vale
A direção do vetor força entre
e
faz um ângulo
com o eixo, onde
(porque a projeção ao longo do eixo é
). Assim a componente axial (em módulo) da força de
sobre
é
Agora precisamos expressar
. Como a massa do anel é uniforme, a densidade linear
(massa por comprimento) é
Um pequeno arco de ângulo
tem comprimento
, logo
Substituímos
e
nas expressões e escrevemos
explicitamente. Vou montar a expressão antes de integrar sobre todo o anel (ou seja,
de
a
).
Passo 3
Substituindo
e
em
e o
encontrado, temos
Agora substituir
e integrar ao longo do anel (
de
a
). Como
e
são constantes em relação a
, a integração é imediata:
onde usei
. Logo o módulo da força axial é
Agora a direção: a força é atrativa, ou seja, aponta em sentido de diminuir
. Se escolhermos o eixo tal que o centro do anel está em
e a massa de teste está em coordenada
, então o vetor força aponta para o centro e seu sinal é negativo no sentido de
positivo. Portanto, escrevendo com sinal,
Esse é o resultado do item (a): força ao longo do eixo. Vou explicar cada termo:
é constante gravitacional,
e
são massas,
a posição axial da massa pontual, e o denominador
vem da geometria da distância ao cubo necessária para a componente axial (distância
ao cubo aparece por causa de combinar o
da força com o
).
Passo 4
Agora a equação de movimento (item b). Aplicamos a segunda lei de Newton ao longo do eixo
:
Dividindo por
,
Esse é o movimento efetivo regido por uma equação diferencial de segunda ordem (não linear em geral).
Para verificar se é M.H.S. (movimento harmônico simples) precisamos checar se a aceleração é proporcional a
com uma constante positiva independente de
, ou seja, se existe
tal que
(forma linear). A expressão obtida tem a forma
. O fator multiplicativo dependente de
é
que depende de
quando
não é pequeno. Portanto, em geral NÃO é um M.H.S., porque a constante de proporcionalidade entre
e
varia com
(o sistema é não linear). Só em situações onde esse fator pode ser aproximado por uma constante (por exemplo,
pequeno) teremos M.H.S. Então, resposta direta: o sistema não é M.H.S. em geral. Vou agora mostrar a aproximação para
.
Passo 5
Aproximação para
(item c). Quero linearizar a expressão da aceleração em torno de
. Escrevo o denominador assim:
Defina
. Para
pequeno,
é pequeno. A expansão em série de Taylor para
até a ordem necessária é
Como
é da ordem
, multiplicar por
(como aparece na força) dá termos de ordem
e de ordem
; o termo linear em
vem apenas do primeiro termo da expansão. Então
Multiplicando por
na expressão da força/acontecimento na aceleração:
Ao reter apenas o termo linear em
(o menor em potência que determina o comportamento próximo do equilíbrio
), obtemos
Essa é exatamente a forma de um oscilador harmônico linear:
com
Portanto, para pequenas deslocações
(isto é,
), o sistema comporta-se como um M.H.S. — a força é aproximadamente proporcional a
com constante de proporcionalidade
.
Passo 6
Período das oscilações (item d). Para um M.H.S. com equação
o período é
Usando
, obtemos
Esse é o período para pequenas oscilações ao longo do eixo do anel em torno do centro.
Força final: já mostrei como obter a expressão exata da força, a equação de movimento e a linearização para pequenas amplitudes que leva ao M.H.S. e ao período acima.
Resposta
(a)
\n
(b) . Não é M.H.S. em geral (é não linear). \n
(c) Para ,
, logo o sistema é um M.H.S. para pequenas amplitudes.\n
(d) .
(b)
(c) Para
(d)