Considere um pêndulo simples com uma corda de massa desprezível de comprimento L e em sua extremidade inferior, é colocada uma massa M. O sistema é posto para oscilar em um plano vertical.
(a) Encontre a equação de movimento em relação a uma variável.
(b) O sistema é MHS? Explique.
(c) Caso a massa seja solta de uma posição cujo ângulo com a vertical seja \pi / 4, qual a tensão na corda no ponto mais baixo.
(d) O que ocorre com o sistema se a oscilação ocorrer para ângulos com a linha vertical próximos à zero? Neste caso, o sistema è M.H.S.? Caso positivo, encontre o período das oscilações.

Passo 1

O enunciado dá um pêndulo simples formado por uma corda de massa desprezível e comprimento L e uma massa pontual M presa na extremidade. O movimento ocorre em um plano vertical. As perguntas são:
(a) Encontrar a equação de movimento em relação a uma variável (ou seja, escrever a equação diferencial que descreve o movimento).
(b) Dizer se o sistema é M.H.S. (movimento harmônico simples) e explicar por quê.
(c) Se a massa for solta a partir de uma posição cujo ângulo com a vertical é \pi/4, qual é a tensão na corda no ponto mais baixo da oscilação?
(d) O que ocorre se a oscilação for para ângulos pequenos (próximos de zero)? Nesse caso o sistema é M.H.S.? Se sim, encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes dadas: massa M, comprimento L, aceleração da gravidade g. Condição do item (c): ângulo inicial \theta_0=\pi/4. Não há atrito nem resistência do ar mencionados (assumimos conservação de energia).

Passo 2

Escolhemos como coordenada generalizada o ângulo \theta(t) medido a partir da vertical: \theta=0 corresponde à posição mais baixa. Vamos obter a equação diferencial usando as forças e torques atuantes de forma didática.
Explicação das forças:
  • A força peso age verticalmente para baixo com magnitude Mg.
  • A tensão T age radialmente ao longo da corda, direção para o centro.
  • A componente do peso tangencial à trajetória (direção que muda o ângulo) é -Mg\sin\theta. O sinal negativo indica que essa componente tende a reduzir \theta quando \theta>0.
Usando torque (ou momento) em torno do ponto de suspensão: o torque devido ao peso é \tau = - (Mg)\cdot L\sin\theta. A massa pontual tem momento de inércia em relação ao ponto de suspensão I = M L^2. A aceleração angular é \alpha=\ddot\theta. Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
\tau = I\alpha.
Substituindo:
- M g L \sin\theta = M L^2 \ddot\theta.
Dividindo por M L^2 (não nulos) obtemos a equação de movimento:
\ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.
Aqui \ddot\theta é a segunda derivada de \theta em relação ao tempo (aceleração angular). Essa é a equação exata do pêndulo simples sem aproximações.

Passo 3

Respondendo (b) — o sistema é M.H.S.?
Definição simples: um movimento é M.H.S. quando a equação de movimento tem a forma linear
\ddot x + \omega^2 x = 0,
com \omega constante; a solução é uma função harmônica (seno/cosseno) com período fixo independente do tempo. A equação exata do pêndulo que encontramos é
\ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = 0,
que é não linear por causa de \sin\theta. Portanto, em geral o pêndulo não é M.H.S. (o comportamento depende da amplitude, frequências variam com amplitude, etc.). Entretanto, para pequenos ângulos \theta próximos de zero podemos usar a aproximação em série:
\sin\theta \approx \theta \quad\text{quando \(\theta\) é pequeno (em radianos)}.é
Com essa aproximação a equação fica linear:
\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0,
que é a equação de M.H.S. Então a conclusão:
  • Não, o pêndulo não é M.H.S. em geral.
  • Sim, o pêndulo é aproximadamente M.H.S. para oscilações de pequenos ângulos (onde \sin\theta\approx\theta).

Passo 4

Resolvendo (c) — tensão na corda no ponto mais baixo quando solto de \theta_0=\pi/4.
Estratégia: usar conservação de energia para obter a velocidade na posição mais baixa e depois usar a segunda lei radial para achar a tensão.
  1. Energia: tomamos a energia potencial zero na posição mais baixa ( \theta=0).
    Altura inicial da massa em relação ao ponto mais baixo:
\Delta h = L(1-\cos\theta_0).
Explicação: a distância vertical entre a posição com ângulo \theta_0 e a posição vertical para baixo é L\cos\theta_0 (medida a partir do ponto de suspensão); então a queda vertical até o fundo é L - L\cos\theta_0.
Energia potencial inicial = M g \Delta h. Como não há perdas, essa energia vira energia cinética na posição mais baixa:
M g L(1-\cos\theta_0) = \tfrac{1}{2}M v^2,
onde v é a velocidade tangencial na posição mais baixa. Assim:
v^2 = 2 g L(1-\cos\theta_0).
  1. Equilíbrio radial no ponto mais baixo: na posição \theta=0 a aceleração centrípeta necessária é a_c = v^2 / L dirigida para o centro. As forças na direção radial somam:
T - M g = M a_c = M\frac{v^2}{L}.
Logo
T = M g + M\frac{v^2}{L}.
Substituindo v^2 da energia:
T = M g + M\frac{2 g L(1-\cos\theta_0)}{L} = M g\big(1 + 2(1-\cos\theta_0)\big).
Simplificando:
T = M g\big(3 - 2\cos\theta_0\big).
  1. Agora plugamos \theta_0=\pi/4. Sabemos \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Assim:
T = M g\left(3 - 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = M g(3 - \sqrt{2}).
Podemos dar uma estimativa numérica rápida: 3-\sqrt{2}\approx 1{,}586, então T\approx 1{,}586\,Mg.
Comentário físico: a tensão no fundo é maior que Mg porque parte da força resultante deve fornecer a aceleração centrípeta para o movimento circular.

Passo 5

Respondendo (d) — comportamento para ângulos pequenos e período.
Para pequenos ângulos \theta (em radianos), usamos a aproximação \sin\theta\approx\theta. Substituindo na equação exata:
\ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = 0.
Esta é exatamente a equação do M.H.S. com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
A solução geral é
\theta(t) = A\cos(\omega t + \varphi),
com amplitude A (pequena) e fase \varphi determinadas pelas condições iniciais. O período das pequenas oscilações é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Portanto, para pequenas oscilações o pêndulo se comporta como M.H.S. e o período é 2\pi\sqrt{L/g}. Observação prática: a aproximação é boa para ângulos até algumas dezenas de graus; para alta precisão costuma-se exigir \theta bem pequeno (p.ex. \lesssim 10^\circ).

Resposta

(a) \ddot\theta + \dfrac{g}{L}\sin\theta = 0.
(b) Não exatamente; o pêndulo é não linear e não é M.H.S. em geral. É aproximadamente M.H.S. para pequenos ângulos usando \sin\theta\approx\theta.
(c) T = M g(3 - \sqrt{2}).
(d) Para ângulos pequenos a equação lineariza para \ddot\theta + \dfrac{g}{L}\theta = 0, o sistema é aproximadamente M.H.S. e o período é T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.

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