Considere um pêndulo simples com uma corda de massa desprezível de comprimento
e em sua extremidade inferior, é colocada uma massa
. O sistema é posto para oscilar em um plano vertical.
(a) Encontre a equação de movimento em relação a uma variável.
(b) O sistema é MHS? Explique.
(c) Caso a massa seja solta de uma posição cujo ângulo com a vertical seja
, qual a tensão na corda no ponto mais baixo.
(d) O que ocorre com o sistema se a oscilação ocorrer para ângulos com a linha vertical próximos à zero? Neste caso, o sistema è M.H.S.? Caso positivo, encontre o período das oscilações.
(a) Encontre a equação de movimento em relação a uma variável.
(b) O sistema é MHS? Explique.
(c) Caso a massa seja solta de uma posição cujo ângulo com a vertical seja
(d) O que ocorre com o sistema se a oscilação ocorrer para ângulos com a linha vertical próximos à zero? Neste caso, o sistema è M.H.S.? Caso positivo, encontre o período das oscilações.
Passo 1
O enunciado dá um pêndulo simples formado por uma corda de massa desprezível e comprimento
e uma massa pontual
presa na extremidade. O movimento ocorre em um plano vertical. As perguntas são:
(a) Encontrar a equação de movimento em relação a uma variável (ou seja, escrever a equação diferencial que descreve o movimento).
(b) Dizer se o sistema é M.H.S. (movimento harmônico simples) e explicar por quê.
(c) Se a massa for solta a partir de uma posição cujo ângulo com a vertical é , qual é a tensão na corda no ponto mais baixo da oscilação?
(d) O que ocorre se a oscilação for para ângulos pequenos (próximos de zero)? Nesse caso o sistema é M.H.S.? Se sim, encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes dadas: massa , comprimento
, aceleração da gravidade
. Condição do item (c): ângulo inicial
. Não há atrito nem resistência do ar mencionados (assumimos conservação de energia).
(a) Encontrar a equação de movimento em relação a uma variável (ou seja, escrever a equação diferencial que descreve o movimento).
(b) Dizer se o sistema é M.H.S. (movimento harmônico simples) e explicar por quê.
(c) Se a massa for solta a partir de uma posição cujo ângulo com a vertical é
(d) O que ocorre se a oscilação for para ângulos pequenos (próximos de zero)? Nesse caso o sistema é M.H.S.? Se sim, encontrar o período das oscilações.
Informações relevantes dadas: massa
Passo 2
Escolhemos como coordenada generalizada o ângulo
medido a partir da vertical:
corresponde à posição mais baixa. Vamos obter a equação diferencial usando as forças e torques atuantes de forma didática.
Explicação das forças:
- A força peso age verticalmente para baixo com magnitude
. - A tensão
age radialmente ao longo da corda, direção para o centro. - A componente do peso tangencial à trajetória (direção que muda o ângulo) é
. O sinal negativo indica que essa componente tende a reduzir quando .
Usando torque (ou momento) em torno do ponto de suspensão: o torque devido ao peso é
. A massa pontual tem momento de inércia em relação ao ponto de suspensão
. A aceleração angular é
. Aplicando a segunda lei de Newton para rotações:
Substituindo:
Dividindo por
(não nulos) obtemos a equação de movimento:
Aqui
é a segunda derivada de
em relação ao tempo (aceleração angular). Essa é a equação exata do pêndulo simples sem aproximações.
Passo 3
Respondendo (b) — o sistema é M.H.S.?
Definição simples: um movimento é M.H.S. quando a equação de movimento tem a forma linear
Definição simples: um movimento é M.H.S. quando a equação de movimento tem a forma linear
com
constante; a solução é uma função harmônica (seno/cosseno) com período fixo independente do tempo. A equação exata do pêndulo que encontramos é
que é não linear por causa de
. Portanto, em geral o pêndulo não é M.H.S. (o comportamento depende da amplitude, frequências variam com amplitude, etc.). Entretanto, para pequenos ângulos
próximos de zero podemos usar a aproximação em série:
Com essa aproximação a equação fica linear:
que é a equação de M.H.S. Então a conclusão:
- Não, o pêndulo não é M.H.S. em geral.
- Sim, o pêndulo é aproximadamente M.H.S. para oscilações de pequenos ângulos (onde
).
Passo 4
Resolvendo (c) — tensão na corda no ponto mais baixo quando solto de
.
Estratégia: usar conservação de energia para obter a velocidade na posição mais baixa e depois usar a segunda lei radial para achar a tensão.
- Energia: tomamos a energia potencial zero na posição mais baixa (
).
Altura inicial da massa em relação ao ponto mais baixo:
Explicação: a distância vertical entre a posição com ângulo
e a posição vertical para baixo é
(medida a partir do ponto de suspensão); então a queda vertical até o fundo é
.
Energia potencial inicial
. Como não há perdas, essa energia vira energia cinética na posição mais baixa:
onde
é a velocidade tangencial na posição mais baixa. Assim:
- Equilíbrio radial no ponto mais baixo: na posição
a aceleração centrípeta necessária é dirigida para o centro. As forças na direção radial somam:
Logo
Substituindo
da energia:
Simplificando:
- Agora plugamos
. Sabemos . Assim:
Podemos dar uma estimativa numérica rápida:
, então
.
Comentário físico: a tensão no fundo é maior que
porque parte da força resultante deve fornecer a aceleração centrípeta para o movimento circular.
Passo 5
Respondendo (d) — comportamento para ângulos pequenos e período.
Para pequenos ângulos
(em radianos), usamos a aproximação
. Substituindo na equação exata:
Esta é exatamente a equação do M.H.S. com frequência angular
A solução geral é
com amplitude
(pequena) e fase
determinadas pelas condições iniciais. O período das pequenas oscilações é
Portanto, para pequenas oscilações o pêndulo se comporta como M.H.S. e o período é
. Observação prática: a aproximação é boa para ângulos até algumas dezenas de graus; para alta precisão costuma-se exigir
bem pequeno (p.ex.
).
Resposta
(a)
.
(b) Não exatamente; o pêndulo é não linear e não é M.H.S. em geral. É aproximadamente M.H.S. para pequenos ângulos usando .
(c) .
(d) Para ângulos pequenos a equação lineariza para , o sistema é aproximadamente M.H.S. e o período é
.
(b) Não exatamente; o pêndulo é não linear e não é M.H.S. em geral. É aproximadamente M.H.S. para pequenos ângulos usando
(c)
(d) Para ângulos pequenos a equação lineariza para