Considere uma mola de comprimento L_{0} pendurada em um teto. Na extremidade livre da mola, é pendurada uma massa de valor conhecido M fazendo com que a mola aumente seu compriment para L e mantendo o sistema no equilíbrio. Em seguida, o bloco é posto para oscilar verticalmente.
(a) Encontre a constante da mola considerando que siga a Lei de Hooke.
(b) Encontre a quação de movimento.
(c) Indique, Provando seus resultados, se o sistema é MHS.
(d) Caso seja MHS, encontre o período das oscilações.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pergunta o que segue.\n
Dados: a mola tem comprimento natural \,L_{0}\,. Quando penduramos a massa conhecida \,M\, na extremidade, a mola alonga-se até o comprimento \,L\, e o sistema fica em equilíbrio. Depois arrancamos o bloco para fazê-lo oscilar verticalmente.\n
Perguntas: \n
(a) Encontrar a constante da mola (assumindo que a mola obedece à Lei de Hooke).\n
(b) Encontrar a equação do movimento do bloco quando oscila.\n
(c) Indicar e provar se o movimento é MHS (Movimento Harmônico Simples).\n
(d) Caso seja MHS, encontrar o período das oscilações.\n
Passo 2
Entendendo a Lei de Hooke e o equilíbrio estático (a peça que nos dá k).\n
Lei de Hooke: a mola exerce uma força elástica proporcional à extensão. Escrevemos isso assim: \,F_{\text{mola}}=-k\,x\,, onde \,k\, é a constante elástica da mola (o que queremos) e \,x\, é a extensão em relação ao comprimento natural \,L_{0}\,. O sinal negativo indica que a força da mola é sempre oposta à extensão (tende a restaurar).\n
No equilíbrio estático, a massa fica parada, logo a soma das forças verticais é zero. Tomando para baixo o sentido positivo (apenas por conveniência), as forças são: peso \,Mg\, para baixo e força elástica \,-k x_{\text{eq}}\, para cima (ou seja, -k x_{\text{eq}} no eixo para baixo). A condição de equilíbrio é:\n
Mg - k\,x_{\text{eq}} = 0\n
Aqui \,x_{\text{eq}}\, é a extensão da mola no equilíbrio, isto é \,x_{\text{eq}} = L - L_{0}\, (peguei esse dado do enunciado: comprimento no equilíbrio é \,L\, e comprimento natural é \,L_{0}\,).\n
Resolvendo a equação de equilíbrio para \,k\, obtemos:\n
k = \frac{M g}{L - L_{0}}\n
Isto responde (a): a constante da mola é \,k = \dfrac{M g}{L - L_{0}}\,. Vou usar isso depois também.
Passo 3
Montando a equação de movimento (colocando as convenções e aplicando a 2ª lei de Newton).\n
Defina uma variável para descrever a posição durante a oscilação. Vou usar \,y(t)\, como a extensão instantânea da mola em relação ao comprimento natural \,L_{0}. Ou seja, quando a mola tem comprimento \,L_{0}+y(t)\,, então \,y(t)\, é a extensão. No equilíbrio temos \,y_{\text{eq}}=L-L_{0}\,.\n
A força elástica para baixo (no sinal escolhido, baixo positivo) vale -k y(t) se contássemos positiva para cima; para evitar confusão, escrevo as forças com sentido claro: peso aponta para baixo com magnitude \,Mg\, e a mola puxa para cima com magnitude \,k y(t). Tomando o sentido para baixo como positivo, a soma das forças é:\n
\sum F = Mg - k\,y(t).\n
Pela 2ª lei de Newton, \,M\,y''(t)=\sum F = Mg - k\,y(t)\,, onde \,y''(t)\, é a aceleração vertical (segunda derivada de \,y(t)\, em relação ao tempo). Assim temos a equação diferencial que descreve o movimento considerando a extensão medida a partir do comprimento natural:\n
M\,y''(t) = Mg - k\,y(t).
Passo 4
Passando para a coordenada em torno do equilíbrio (isso simplifica a equação e mostra a natureza harmônica).\n
Defina \,x(t) = y(t) - y_{\text{eq}}\,. Aqui \,x(t)\, é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio: \,x=0\, corresponde à posição estática \,y=y_{\text{eq}}\,. Observação importante: \,y_{\text{eq}}\, é constante, logo \,y''(t)=x''(t)\,.\n
Substituindo \,y(t)=y_{\text{eq}}+x(t)\, na equação do passo anterior:\n
Mas pela condição de equilíbrio estático temos Mg - k\,y_{\text{eq}}=0. Portanto os dois termos Mg e -k\,y_{\text{eq}} se cancelam e sobra:\n
M\,x''(t) = -k\,x(t).\n
Reorganizando:\n
M\,x''(t) + k\,x(t) = 0.\n
Esta é a equação diferencial padrão do oscilador harmônico linear sem amortecimento.
Passo 5
Resolver a equação e provar que o sistema é MHS (Movimento Harmônico Simples).\n
A equação obtida é linear e homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes. Escrevemos em forma padrão:\n
x''(t) + \frac{k}{M}\,x(t) = 0.\n
Esta é exatamente a equação do MHS. A solução geral é uma combinação harmônica (seno e cosseno) ou uma única função seno com fase:\n
x(t) = A\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),\n
onde \,A\, (amplitude) e \,\varphi\, (fase) são constantes determinadas pelas condições iniciais, e \,\omega\, é a frequência angular dada por\n
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{M}}.\n
Então fica provado: o movimento é MHS porque a equação do movimento tem a forma \,x'' + \omega^{2} x = 0\, com \,\omega constante. Observação física intuitiva: a gravidade apenas desloca a posição de equilíbrio, mas as oscilações ao redor desse equilíbrio são determinadas só pela mola e pela massa (restaurações lineares), produzindo oscilações senoidais.
Passo 6
Encontrando o período e escrevendo em termos dos dados do problema.\n
O período T de uma oscilação do MHS é relacionado à frequência angular por \,T = \dfrac{2\pi}{\omega}\,. Substituindo \,\omega = \sqrt{k/M}\, temos a forma usual:\n
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}.\n
Se desejarmos, podemos eliminar \,k\, usando o resultado do Passo 2 (\,k = \dfrac{M g}{L - L_{0}}\,). Substituindo:\n
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{\,\dfrac{M g}{L - L_{0}}\,}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L - L_{0}}{g}}.\n
Observação útil e motivadora: essa última expressão mostra que, conhecendo a extensão de equilíbrio \,L-L_{0}\, e a gravidade \,g\,, podemos prever o período sem precisar medir \,k separadamente — o \,M\, cancela porque \,k\, foi obtido a partir do próprio peso \,Mg\, no equilíbrio.\n
Conclusão direta: o sistema é MHS e o período é dado por uma das duas formas equivalentes acima.
Resposta
(a) \displaystyle k = \frac{M g}{L - L_{0}}\n
(b) \displaystyle x''(t) + \frac{k}{M}\,x(t) = 0, onde \,x(t)\, é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio.\n
(c) Sim. É MHS, pois a equação do movimento é da forma \,x''+\omega^{2}x=0\, com \,\omega=\sqrt{k/M}\,, cuja solução é senoidal.\n
(d) \displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} que, substituindo k do item (a), fica \displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{L - L_{0}}{g}}.