Considere um anel de raio a. Sobre o anel, são colocadas 10 cargas pontuais q de modo que fiquem igualmente espaçadas. Ao longo do eixo principal do anel, é colocada uma carga pontual Q e a uma distância r do centro do anel.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte configuração (lista das informações que o problema fornece):
  • Um anel de raio \,a\,.
  • Sobre o anel estão colocadas 10 cargas pontuais, cada uma de valor \,q\,, igualmente espaçadas ao longo do anel.
  • Ao longo do eixo do anel (o eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel) está uma carga pontual \,Q\, localizada a uma distância \,r\, do centro do anel.
  • Não há nenhuma pergunta explícita no enunciado enviado (ou seja, não foi escrito “calcular …” ou “determinar …”).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • São 10 cargas idênticas e dispostas com simetria circular (iguais angulares entre si).
  • A carga \,Q\, está sobre o eixo do anel a distância \,r\, do centro (está no eixo de simetria).
  • Variáveis dadas: \,a,\;q,\;Q,\;r\,.

Passo 2

Decisão sobre o que calcular (explicitação do objetivo, pois o enunciado não especificou):
  • Em problemas desse tipo, as quantidades mais comuns pedidas são: o campo elétrico \mathbf{E} no ponto onde está \,Q\,, a força sobre \,Q\, e o potencial elétrico no ponto. Vou calcular de forma genérica o campo elétrico ao longo do eixo, a força sobre \,Q\, e o potencial no ponto sobre o eixo, porque são respostas úteis e diretamente relacionadas à configuração dada.
  • Vou justificar a escolha de método: usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição, aproveitando a simetria circular para cancelar componentes transversas e somar apenas componentes axiais — esse é o método padrão e mais simples para anéis de cargas discretas igualmente espaçadas.

Passo 3

Lembrando as ferramentas que vamos usar (pequena “aula” sobre as fórmulas básicas):
  • Lei de Coulomb para a contribuição do campo elétrico de uma carga pontual: para uma carga q em uma posição, o campo elétrico em um ponto a uma distância d é, em módulo,
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{d^2},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. O vetor campo aponta ao longo da reta que liga a carga ao ponto (afastando-se se a carga for positiva, aproximando-se se negativa).
  • Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos de cada carga individual.
  • Para decompor vetores, se um vetor tem módulo E e faz ângulo \theta com o eixo z, a componente axial (no eixo z) é E\cos\theta.
  • No nosso problema, todas as distâncias do ponto sobre o eixo até cada carga do anel são iguais e valem \sqrt{r^2+a^2}. Por simetria, componentes radiais (no plano do anel) de campos de cargas opostas se cancelam, sobrando apenas a soma das componentes ao longo do eixo.

Passo 4

Calcular a contribuição de uma única carga q sobre o eixo:
  • Distância do centro do anel até a carga Q é \,r\,; distância de uma carga q localizada no anel até Q é
d=\sqrt{r^2+a^2}.
  • O módulo do campo produzido por essa carga q em Q (pela lei de Coulomb) é
E_{\text{mód}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{d^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{(r^2+a^2)}.ó
  • O vetor campo vai na direção da reta que conecta a carga q ao ponto Q. O ângulo entre essa reta e o eixo é \theta com \cos\theta=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+a^2}}. Então a componente axial (no sentido do eixo, chamemos de z) do campo gerado por essa carga é
E_{z,\text{uma}}=E_{\text{mód}}\cos\theta =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|}{(r^2+a^2)}\cdot\frac{r}{\sqrt{r^2+a^2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q|\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}.ó
  • Observação importante sobre o sinal/direção: a expressão acima é o módulo da componente axial. O sentido (para cima ou para baixo ao longo do eixo) depende do sinal de q e da posição relativa (se q e Q têm o mesmo sinal, a força é repulsiva). Para manter as contas vetoriais diretas, é conveniente escrever o campo devido a uma carga q com o sinal de q incluído:
E_{z,\text{uma}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}},
onde o sinal de q determina a direção do campo (positivo para campo apontando +z, dependendo da convenção do eixo).

Passo 5

Somar as contribuições das 10 cargas usando simetria e superposição:
  • Todas as 10 cargas são iguais ( q), estão à mesma distância do ponto e fornecem a mesma componente axial numérica. As componentes transversais se cancelam por simetria (pares de cargas em posições opostas no anel têm componentes radiais opostas).
  • Portanto, o campo axial total no ponto onde está Q é simplesmente 10 vezes a contribuição de uma carga:
E_z=\sum_{i=1}^{10}E_{z,\text{una}}=10\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}.
  • Introduzindo a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} (constante eletrostática), fica mais compacto:
E_z=k\frac{10\,q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}.
  • Em forma vetorial, escolhendo o eixo z orientado do centro do anel para a carga Q, o campo é
\mathbf{E}=E_z\,\hat{\mathbf{z}}=k\frac{10\,q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Lembrete sobre sinais: se q>0 o campo produzido pelas cargas do anel em um ponto sobre o eixo à direita do centro aponta no sentido de afastar cargas positivas do anel (direção +z ou -z conforme a posição de Q relativa ao plano). A fórmula com q já leva isso em conta.

Passo 6

Calcular a força sobre a carga Q:
  • A força elétrica sobre uma carga pontual \,Q\, colocada no ponto é dada por
\mathbf{F}=Q\,\mathbf{E}.
  • Substituindo \mathbf{E} obtida:
\mathbf{F}=Q\left(k\frac{10\,q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}\right) =k\frac{10\,q\,Q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Novamente, o sinal (direção) da força é determinado pelos sinais de q e Q: se qQ>0 a força é repulsiva (aponta para longe do anel), se qQ<0 é atrativa (aponta para o anel).

Passo 7

Calcular o potencial elétrico no ponto sobre o eixo (opcional — frequentemente pedido):
  • O potencial escalar devido a uma carga pontual q a uma distância d é
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{d}.
  • Como todas as 10 cargas estão à mesma distância \sqrt{r^2+a^2} do ponto, o potencial total é soma simples:
V_{\text{total}}=10\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{r^2+a^2}} =k\frac{10\,q}{\sqrt{r^2+a^2}}.
  • Observação: o potencial é escalar e não se cancela por simetria; ele soma diretamente.

Passo 8

Resumo final das expressões (interpretando sinais e direção):
  • Campo elétrico no ponto sobre o eixo (vetor, no sentido \hat{\mathbf{z}}):
\mathbf{E}=k\frac{10\,q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Força sobre a carga \,Q\, (vetor):
\mathbf{F}=k\frac{10\,q\,Q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Potencial elétrico no ponto:
V=k\frac{10\,q}{\sqrt{r^2+a^2}}.
  • Onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Os sinais de q e Q controlam a direção (para cima ou para baixo) do campo e da força; as expressões acima já incluem esses sinais porque q e Q aparecem algebraicamente.

Resposta

\mathbf{E}= \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{10\,q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}
\mathbf{F}= \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{10\,q\,Q\,r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}
V= \displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{10\,q}{\sqrt{r^2+a^2}}

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