Considere um anel de raio
. Sobre o anel, são colocadas 10 cargas pontuais
de modo que fiquem igualmente espaçadas. Ao longo do eixo principal do anel, é colocada uma carga pontual
e a uma distância
do centro do anel.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte configuração (lista das informações que o problema fornece):
- Um anel de raio
. - Sobre o anel estão colocadas
cargas pontuais, cada uma de valor , igualmente espaçadas ao longo do anel. - Ao longo do eixo do anel (o eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano do anel) está uma carga pontual
localizada a uma distância do centro do anel. - Não há nenhuma pergunta explícita no enunciado enviado (ou seja, não foi escrito “calcular …” ou “determinar …”).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- São
cargas idênticas e dispostas com simetria circular (iguais angulares entre si). - A carga
está sobre o eixo do anel a distância do centro (está no eixo de simetria). - Variáveis dadas:
.
Passo 2
Decisão sobre o que calcular (explicitação do objetivo, pois o enunciado não especificou):
- Em problemas desse tipo, as quantidades mais comuns pedidas são: o campo elétrico
no ponto onde está , a força sobre e o potencial elétrico no ponto. Vou calcular de forma genérica o campo elétrico ao longo do eixo, a força sobre e o potencial no ponto sobre o eixo, porque são respostas úteis e diretamente relacionadas à configuração dada. - Vou justificar a escolha de método: usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição, aproveitando a simetria circular para cancelar componentes transversas e somar apenas componentes axiais — esse é o método padrão e mais simples para anéis de cargas discretas igualmente espaçadas.
Passo 3
Lembrando as ferramentas que vamos usar (pequena “aula” sobre as fórmulas básicas):
- Lei de Coulomb para a contribuição do campo elétrico de uma carga pontual: para uma carga
em uma posição, o campo elétrico em um ponto a uma distância é, em módulo,
onde
é a permissividade do vácuo. O vetor campo aponta ao longo da reta que liga a carga ao ponto (afastando-se se a carga for positiva, aproximando-se se negativa).
- Princípio da superposição: o campo total é a soma vetorial dos campos de cada carga individual.
- Para decompor vetores, se um vetor tem módulo
e faz ângulo com o eixo , a componente axial (no eixo ) é . - No nosso problema, todas as distâncias do ponto sobre o eixo até cada carga do anel são iguais e valem
. Por simetria, componentes radiais (no plano do anel) de campos de cargas opostas se cancelam, sobrando apenas a soma das componentes ao longo do eixo.
Passo 4
Calcular a contribuição de uma única carga
sobre o eixo:
- Distância do centro do anel até a carga
é ; distância de uma carga localizada no anel até é
- O módulo do campo produzido por essa carga
em (pela lei de Coulomb) é
- O vetor campo vai na direção da reta que conecta a carga
ao ponto . O ângulo entre essa reta e o eixo é com . Então a componente axial (no sentido do eixo, chamemos de ) do campo gerado por essa carga é
- Observação importante sobre o sinal/direção: a expressão acima é o módulo da componente axial. O sentido (para cima ou para baixo ao longo do eixo) depende do sinal de
e da posição relativa (se e têm o mesmo sinal, a força é repulsiva). Para manter as contas vetoriais diretas, é conveniente escrever o campo devido a uma carga com o sinal de incluído:
onde o sinal de
determina a direção do campo (positivo para campo apontando +z, dependendo da convenção do eixo).
Passo 5
Somar as contribuições das
cargas usando simetria e superposição:
- Todas as
cargas são iguais ( ), estão à mesma distância do ponto e fornecem a mesma componente axial numérica. As componentes transversais se cancelam por simetria (pares de cargas em posições opostas no anel têm componentes radiais opostas). - Portanto, o campo axial total no ponto onde está
é simplesmente vezes a contribuição de uma carga:
- Introduzindo a constante
(constante eletrostática), fica mais compacto:
- Em forma vetorial, escolhendo o eixo
orientado do centro do anel para a carga , o campo é
- Lembrete sobre sinais: se
o campo produzido pelas cargas do anel em um ponto sobre o eixo à direita do centro aponta no sentido de afastar cargas positivas do anel (direção +z ou -z conforme a posição de relativa ao plano). A fórmula com já leva isso em conta.
Passo 6
Calcular a força sobre a carga
:
- A força elétrica sobre uma carga pontual
colocada no ponto é dada por
- Substituindo
obtida:
- Novamente, o sinal (direção) da força é determinado pelos sinais de
e : se a força é repulsiva (aponta para longe do anel), se é atrativa (aponta para o anel).
Passo 7
Calcular o potencial elétrico no ponto sobre o eixo (opcional — frequentemente pedido):
- O potencial escalar devido a uma carga pontual
a uma distância é
- Como todas as
cargas estão à mesma distância do ponto, o potencial total é soma simples:
- Observação: o potencial é escalar e não se cancela por simetria; ele soma diretamente.
Passo 8
Resumo final das expressões (interpretando sinais e direção):
- Campo elétrico no ponto sobre o eixo (vetor, no sentido
):
- Força sobre a carga
(vetor):
- Potencial elétrico no ponto:
- Onde
. Os sinais de e controlam a direção (para cima ou para baixo) do campo e da força; as expressões acima já incluem esses sinais porque e aparecem algebraicamente.