Considere uma esfera de raio
e carga
uniformemente distribuída sobre seu volume. No interior da esfera, é retirada uma quandidade de carga com formato esférico de raio
, concêntrica com a esfera de raio
.
(a) Encontre o campo eletrostático em todos os pontos do espaço.
(b) Encontre o potencial eletrostático em todos os pontos do espaço e construa seu gráfico como função da distância ao centro das esferas.
(c) Caso seja colocada uma carga pontual
a uma distância
do centro do sistema, encontre a força sobre a carga pontual.
(d) Caso seja colocada uma carga pontual
a uma distância
do centro do sistema, encontre a força sobre a carga pontual.
(a) Encontre o campo eletrostático em todos os pontos do espaço.
(b) Encontre o potencial eletrostático em todos os pontos do espaço e construa seu gráfico como função da distância ao centro das esferas.
(c) Caso seja colocada uma carga pontual
(d) Caso seja colocada uma carga pontual
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Uma esfera de raio
com carga total distribuída uniformemente no volume inicial. - Do interior da esfera é retirada uma região esférica concêntrica de raio
, com . Essa região fica sem carga (cavidade esférica centrada). - Define-se a constante eletrostática
. Pode-se usar .
- Uma esfera de raio
-
Perguntas:
(a) Encontre o campo eletrostáticoem todos os pontos do espaço (todas as regiões de em relação ao centro).
(b) Encontre o potencial eletrostáticoem todos os pontos do espaço e faça o gráfico qualitativo de em função da distância ao centro.
(c) Colocando uma carga pontuala uma distância do centro, encontre a força sobre .
(d) Colocando uma carga pontuala uma distância do centro, encontre a força sobre .
Informações úteis que vamos usar (não são soluções ainda):
- A distribuição original é esfericamente simétrica antes da remoção; após remoção, podemos usar superposição (esfera carregada inteira + esfera de carga igual à carga removida com sinal negativo) para calcular campo/ potencial.
- Densidade volumétrica original
e carga da esfera removida serão calculadas explicitamente e usadas nas contas.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática, passo a passo):
- Usaremos o princípio da superposição: considerar a configuração como soma de duas distribuições mais simples cuja solução é conhecida:
- Uma esfera sólida de raio
com carga total uniformemente distribuída (chamarei de “esfera cheia”). - Uma esfera sólida de raio
com carga total uniformemente distribuída, colocada concêntrica (essa segunda representa a carga que foi removida).
- Uma esfera sólida de raio
- Assim o campo/potencial do sistema será o campo/potencial da esfera cheia mais o campo/potencial da esfera pequena com carga negativa.
- Para cada esfera homogênea usarei a Lei de Gauss para obter
e integrarei (ou usarei resultados conhecidos) para obter . Vou mostrar como obter cada fórmula explicitamente. - Primeiro passo: calcular a densidade volumétrica
da esfera cheia e a carga da esfera removida.
Passo 3
Cálculo da densidade e da carga removida:
- A densidade volumétrica da esfera cheia é
- A carga contida na esfera que foi removida (raio
) é a densidade vezes seu volume:
- Na superposição usaremos uma esfera com carga
colocada concentricamente.
Passo 4
Campo da esfera sólida uniformemente carregada (esfera cheia) — derivação com Gauss:
- Considere a constante
. - Para uma esfera sólida uniformemente carregada com carga total
e raio , pela simetria esférica e Lei de Gauss: - Para
(fora da esfera),
- Para
(dentro da esfera),
a carga contida num raioé . Pela Lei de Gauss,
- Para
- Observação didática: a Lei de Gauss diz
. Para superfície esférica de raio tem-se , daí as fórmulas acima.
Passo 5
Campo da esfera removida (esfera pequena com carga
) — pela mesma ideia:
- A esfera removida tem carga total
e raio . Aplicando Gauss: - Para
(fora da esfera removida),
- Para
(dentro da esfera removida),
a carga interna é proporcional a, assim
- Para
- Observação: o signo negativo vem porque estamos representando a carga retirada como uma esfera com carga negativa
.
Passo 6
Superposição para obter o campo total
— cálculo por regiões:
- A soma
. Como tudo é radial, apresento o módulo e a direção radial .
- Região
:
- Aqui
, então usamos as expressões internas para ambas:
Somando,
Portanto
- Região
:
- Aqui
está dentro da esfera cheia (usar expressão interna) e fora da esfera removida (usar expressão externa):
Somando,
Direção radial para fora. Logo
- Região
:
- Para fora de ambas as esferas usamos as expressões externas:
Somando,
Direção radial para fora. Assim
- Observação física: no interior da cavidade central
o campo é zero porque as contribuições da esfera cheia e da esfera negativa se cancelam exatamente; para o sistema se comporta como uma carga pontual igual à carga total remanescente .
Passo 7
Potencial eletrostático: relação com o campo e escolha de referência
- Relação básica:
. Tomaremos . - É prático usar a superposição também para o potencial:
. - Potencial para esfera uniforme conhecida:
- Para a esfera cheia (total
, raio ): - Para
:
- Para
: derivando por integração ou usando resultado conhecido,
(Explicação curta: , e ; fazendo a integral obtém-se a expressão acima.) - Para
- Para a esfera removida representada por carga
e raio , as fórmulas análogas (com sinal) são: - Para
,
- Para
,
- Para
- Para a esfera cheia (total
Passo 8
Potencial total por regiões (superpondo e simplificando) — cálculo passo a passo:
Defino
e
.
- Para
(dentro da cavidade):
-
. -
. - Somando:
Agora simplificamos cuidadosamente: escrevendo ambos sobre denominador
,
Assim o termo em
cancela e obtemos um potencial constante (independente de
):
- Para
(entre cavidade e superfície externa):
-
. -
. - Somando:
- Para
(fora da esfera):
-
. -
. - Somando:
- Verificações rápidas de continuidade:
- Em
as expressões de e dão o mesmo valor (de fato cancelamento mostrou isso). - Em
as expressões de e coincidem.
- Em
- Interpretação física: o potencial é constante dentro da cavidade central (o que combina com
lá), depois varia na região carregada e tende a como no infinito com carga efetiva .
Passo 9
Gráfico qualitativo de
em função de
(descrição passo a passo):
- Para
: é constante (plano horizontal) com valor . - Em
: é contínuo e a derivada é zero (campo é zero imediatamente à direita também), portanto o gráfico é “achatado” em (tangente horizontal). - Para
: começa em e decresce à medida que aumenta; a expressão mistura um termo em e um em , então o decaimento é suave e não simplesmente um polinômio; a inclinação do gráfico é que cresce em magnitude com até certo ponto. - Para
: segue uma lei com a carga efetiva , portanto cai como hiperbola; no infinito tende a zero. - Em resumo: gráfico plano até
, depois começa a cair suavemente até e depois segue a cauda .
Passo 10
Força sobre uma carga pontual
colocada no campo — uso de
:
(c) Para
:
- Como já encontramos
para , a força é nula:
(d) Para
:
- O campo é
. - Assim a força sobre
é
- Observação: o sentido da força depende do sinal de
e de (produto positivo dá repulsão radial para fora, negativo dá atração radial para dentro).
Passo 11
Resumo rápido e checagens (pequenas observações didáticas):
- Calculei
e usei superposição (esfera cheia + esfera negativa) para obter campo e potencial. - Campo zero na cavidade central é consequência direta da simetria e do cancelamento entre contribuições.
- Para
a distribuição age como carga pontual igual à carga total restante .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)