Considere uma esfera de raio R e carga Q uniformemente distribuída sobre seu volume. No interior da esfera, é retirada uma quandidade de carga com formato esférico de raio a<R, concêntrica com a esfera de raio R.
(a) Encontre o campo eletrostático em todos os pontos do espaço.
(b) Encontre o potencial eletrostático em todos os pontos do espaço e construa seu gráfico como função da distância ao centro das esferas.
(c) Caso seja colocada uma carga pontual q a uma distância r<a do centro do sistema, encontre a força sobre a carga pontual.
(d) Caso seja colocada uma carga pontual q a uma distância r>R do centro do sistema, encontre a força sobre a carga pontual.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Uma esfera de raio R com carga total Q distribuída uniformemente no volume inicial.
    • Do interior da esfera é retirada uma região esférica concêntrica de raio a, com a<R. Essa região fica sem carga (cavidade esférica centrada).
    • Define-se a constante eletrostática \varepsilon_0. Pode-se usar k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Perguntas:
    (a) Encontre o campo eletrostático \mathbf{E}(\mathbf{r}) em todos os pontos do espaço (todas as regiões de r em relação ao centro).
    (b) Encontre o potencial eletrostático V(r) em todos os pontos do espaço e faça o gráfico qualitativo de V em função da distância r ao centro.
    (c) Colocando uma carga pontual q a uma distância r<a do centro, encontre a força sobre q.
    (d) Colocando uma carga pontual q a uma distância r>R do centro, encontre a força sobre q.
Informações úteis que vamos usar (não são soluções ainda):
  • A distribuição original é esfericamente simétrica antes da remoção; após remoção, podemos usar superposição (esfera carregada inteira + esfera de carga igual à carga removida com sinal negativo) para calcular campo/ potencial.
  • Densidade volumétrica original \rho e carga da esfera removida serão calculadas explicitamente e usadas nas contas.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática, passo a passo):
  • Usaremos o princípio da superposição: considerar a configuração como soma de duas distribuições mais simples cuja solução é conhecida:
    1. Uma esfera sólida de raio R com carga total Q uniformemente distribuída (chamarei de “esfera cheia”).
    2. Uma esfera sólida de raio a com carga total -Q_a uniformemente distribuída, colocada concêntrica (essa segunda representa a carga que foi removida).
  • Assim o campo/potencial do sistema será o campo/potencial da esfera cheia mais o campo/potencial da esfera pequena com carga negativa.
  • Para cada esfera homogênea usarei a Lei de Gauss para obter \mathbf{E} e integrarei \mathbf{E} (ou usarei resultados conhecidos) para obter V. Vou mostrar como obter cada fórmula explicitamente.
  • Primeiro passo: calcular a densidade volumétrica \rho da esfera cheia e a carga Q_a da esfera removida.

Passo 3

Cálculo da densidade e da carga removida:
  • A densidade volumétrica da esfera cheia é
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
  • A carga contida na esfera que foi removida (raio a) é a densidade vezes seu volume:
Q_{a}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=Q\frac{a^{3}}{R^{3}}.
  • Na superposição usaremos uma esfera com carga -Q_{a}=-Q\frac{a^{3}}{R^{3}} colocada concentricamente.

Passo 4

Campo da esfera sólida uniformemente carregada (esfera cheia) — derivação com Gauss:
  • Considere a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
  • Para uma esfera sólida uniformemente carregada com carga total Q e raio R, pela simetria esférica e Lei de Gauss:
    • Para r>R (fora da esfera),
    E_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\quad\text{(radial para fora)}.
    • Para r\le R (dentro da esfera),
      a carga contida num raio r é \rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\frac{r^{3}}{R^{3}}. Pela Lei de Gauss,
    E_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q\frac{r^{3}}{R^{3}}}{r^{2}}=k\frac{Q}{R^{3}}\,r\quad\text{(radial para fora)}.
  • Observação didática: a Lei de Gauss diz \displaystyle\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}. Para superfície esférica de raio r tem-se E\cdot 4\pi r^{2}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_{0}, daí as fórmulas acima.

Passo 5

Campo da esfera removida (esfera pequena com carga -Q_a) — pela mesma ideia:
  • A esfera removida tem carga total -Q_{a} e raio a. Aplicando Gauss:
    • Para r>a (fora da esfera removida),
    E_{\text{rem}}(r)=-\,k\frac{Q_{a}}{r^{2}}=-\,k\frac{Q\,a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r^{2}}\quad\text{(radial, sinal negativo indica direção oposta ao vetor unitário se \(Q_a>0\))}.çãá
    • Para r\le a (dentro da esfera removida),
      a carga interna é proporcional a r^{3}, assim
    E_{\text{rem}}(r)=-\,k\frac{Q_{a}}{a^{3}}\,r=-\,k\frac{Q\,a^{3}}{R^{3}a^{3}}\,r=-\,k\frac{Q}{R^{3}}\,r.
  • Observação: o signo negativo vem porque estamos representando a carga retirada como uma esfera com carga negativa -Q_a.

Passo 6

Superposição para obter o campo total \mathbf{E} — cálculo por regiões:
  • A soma \mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{cheia}}+\mathbf{E}_{\text{rem}}. Como tudo é radial, apresento o módulo e a direção radial \hat r.
  1. Região 0\le r<a:
  • Aqui r\le a, então usamos as expressões internas para ambas:
E_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\,r,\qquad E_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q}{R^{3}}\,r.
Somando,
E(r)=E_{\text{cheia}}(r)+E_{\text{rem}}(r)=0.
Portanto
\boxed{\mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }0\le r<a.}
  1. Região a<r<R:
  • Aqui r está dentro da esfera cheia (usar expressão interna) e fora da esfera removida (usar expressão externa):
E_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\,r,\qquad E_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}r^{2}}.
Somando,
E(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)=k\frac{Q}{R^{3}}\frac{r^{3}-a^{3}}{r^{2}}.
Direção radial para fora. Logo
\boxed{\mathbf{E}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\frac{r^{3}-a^{3}}{r^{2}}\,\hat r\quad\text{para }a<r<R.}
  1. Região r\ge R:
  • Para fora de ambas as esferas usamos as expressões externas:
E_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{r^{2}},\qquad E_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}r^{2}}.
Somando,
E(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right).
Direção radial para fora. Assim
\boxed{\mathbf{E}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\hat r\quad\text{para }r\ge R.}
  • Observação física: no interior da cavidade central r<a o campo é zero porque as contribuições da esfera cheia e da esfera negativa se cancelam exatamente; para r>R o sistema se comporta como uma carga pontual igual à carga total remanescente Q_{\text{ef}}=Q-Q_a=Q(1-a^{3}/R^{3}).

Passo 7

Potencial eletrostático: relação com o campo e escolha de referência
  • Relação básica: \mathbf{E}=-\nabla V. Tomaremos V(\infty)=0.
  • É prático usar a superposição também para o potencial: V=V_{\text{cheia}}+V_{\text{rem}}.
  • Potencial para esfera uniforme conhecida:
    • Para a esfera cheia (total Q, raio R):
      • Para r\ge R:
      V_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{r}.
      • Para r\le R: derivando por integração ou usando resultado conhecido,
      V_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right).(Explicação curta: V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r}E_{\text{cheia}}(r')\,dr'=-\int_{R}^{r}k\frac{Q}{R^{3}}r'\,dr', e V(R)=kQ/R; fazendo a integral obtém-se a expressão acima.)
    • Para a esfera removida representada por carga -Q_a e raio a, as fórmulas análogas (com sinal) são:
      • Para r\ge a,
      V_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q_{a}}{r}=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r}.
      • Para r\le a,
      V_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q_{a}}{2a}\left(3-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right)=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{2a}\left(3-\frac{r^{2}}{a^{2}}\right).

Passo 8

Potencial total por regiões (superpondo e simplificando) — cálculo passo a passo:
Defino k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} e Q_{a}=Q\frac{a^{3}}{R^{3}}.
  1. Para 0\le r<a (dentro da cavidade):
  • V_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{2R}\left(3-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right).
  • V_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q_{a}}{2a}\left(3-\dfrac{r^{2}}{a^{2}}\right)=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{2a}\left(3-\dfrac{r^{2}}{a^{2}}\right).
  • Somando:
V(r)=kQ\!\left[\frac{1}{2R}\Big(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\Big)-\frac{a^{2}}{2R^{3}}\Big(3-\frac{r^{2}}{a^{2}}\Big)\right].
Agora simplificamos cuidadosamente: escrevendo ambos sobre denominador 2R^{3},
\frac{3R^{2}-r^{2}}{2R^{3}}-\frac{3a^{2}-r^{2}}{2R^{3}}=\frac{3(R^{2}-a^{2})}{2R^{3}}.
Assim o termo em r^{2} cancela e obtemos um potencial constante (independente de r):
\boxed{V(r)=kQ\frac{3}{2}\cdot\frac{R^{2}-a^{2}}{R^{3}}\quad\text{(constante) para }0\le r<a.}
  1. Para a<r<R (entre cavidade e superfície externa):
  • V_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{2R}\left(3-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right).
  • V_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q_{a}}{r}=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r}.
  • Somando:
\boxed{V(r)=kQ\left[\frac{1}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)-\frac{a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r}\right]\quad\text{para }a<r<R.}
  1. Para r\ge R (fora da esfera):
  • V_{\text{cheia}}(r)=k\frac{Q}{r}.
  • V_{\text{rem}}(r)=-k\frac{Q a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r}.
  • Somando:
\boxed{V(r)=k\frac{Q}{r}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\quad\text{para }r\ge R.}
  • Verificações rápidas de continuidade:
    • Em r=a as expressões de r<a e a<r<R dão o mesmo valor (de fato cancelamento mostrou isso).
    • Em r=R as expressões de a<r<R e r\ge R coincidem.
  • Interpretação física: o potencial é constante dentro da cavidade central (o que combina com \mathbf{E}=0 lá), depois varia na região carregada e tende a 0 como 1/r no infinito com carga efetiva Q(1-a^{3}/R^{3}).

Passo 9

Gráfico qualitativo de V(r) em função de r (descrição passo a passo):
  • Para 0\le r<a: V(r) é constante (plano horizontal) com valor V_{\text{centro}}=kQ\frac{3}{2}\dfrac{R^{2}-a^{2}}{R^{3}}.
  • Em r=a: V é contínuo e a derivada é zero (campo E=-dV/dr é zero imediatamente à direita também), portanto o gráfico é “achatado” em r=a (tangente horizontal).
  • Para a<r<R: V(r) começa em V_{\text{centro}} e decresce à medida que r aumenta; a expressão mistura um termo em -r^{2} e um em -1/r, então o decaimento é suave e não simplesmente um polinômio; a inclinação do gráfico é -E(r) que cresce em magnitude com r até certo ponto.
  • Para r\ge R: V(r) segue uma lei \propto 1/r com a carga efetiva Q(1-a^{3}/R^{3}), portanto cai como hiperbola; no infinito tende a zero.
  • Em resumo: gráfico plano até r=a, depois começa a cair suavemente até r=R e depois segue a cauda 1/r.

Passo 10

Força sobre uma carga pontual q colocada no campo — uso de \mathbf{F}=q\mathbf{E}:
(c) Para r<a:
  • Como já encontramos \mathbf{E}(r)=\mathbf{0} para r<a, a força é nula:
\boxed{\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{se a carga }q\text{ estiver em }r<a.}
(d) Para r>R:
  • O campo é \mathbf{E}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\hat r.
  • Assim a força sobre q é
\boxed{\mathbf{F}(r)=q\,\mathbf{E}(r)=k\,q\,\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\hat r\quad\text{para }r>R.}
  • Observação: o sentido da força depende do sinal de q e de Q (produto qQ positivo dá repulsão radial para fora, negativo dá atração radial para dentro).

Passo 11

Resumo rápido e checagens (pequenas observações didáticas):
  • Calculei Q_a=Q a^{3}/R^{3} e usei superposição (esfera cheia + esfera negativa) para obter campo e potencial.
  • Campo zero na cavidade central é consequência direta da simetria e do cancelamento entre contribuições.
  • Para r\ge R a distribuição age como carga pontual igual à carga total restante Q(1-a^{3}/R^{3}).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}\quad\text{para }0\le r<a.
\displaystyle \mathbf{E}(r)=k\frac{Q}{R^{3}}\frac{r^{3}-a^{3}}{r^{2}}\,\hat r\quad\text{para }a<r<R.
\displaystyle \mathbf{E}(r)=k\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\hat r\quad\text{para }r\ge R.
(b) \displaystyle V(r)=kQ\frac{3}{2}\frac{R^{2}-a^{2}}{R^{3}}\quad\text{para }0\le r<a.
\displaystyle V(r)=kQ\left[\frac{1}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)-\frac{a^{3}}{R^{3}}\frac{1}{r}\right]\quad\text{para }a<r<R.
\displaystyle V(r)=k\frac{Q}{r}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\quad\text{para }r\ge R.
(c) \displaystyle \mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{se a carga }q\text{ estiver em }r<a.
(d) \displaystyle \mathbf{F}(r)=k\,q\,\frac{Q}{r^{2}}\left(1-\frac{a^{3}}{R^{3}}\right)\hat r\quad\text{para }r>R.

Exercícios relacionados