Demonstre as seguintes identidades:
\int_{V}(\vec{\nabla} \cdot \vec{G}+ \vec{G} \cdot \vec{\nabla}) \vec{F} d V=\oint_{S} \vec{F}(\vec{G} \cdot \hat{n}) d a

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
  • Existem dois campos vetoriais suficientemente suaves definidos em um domínio volumétrico V com superfície fechada S e normal unitária exterior \hat{n}.
  • Os campos vetoriais são \vec{F}(\vec{x}) e \vec{G}(\vec{x}).
  • A integral de volume é sobre V e a integral de superfície é sobre a fronteira S orientada pela normal exterior \hat{n}.
  • O que devemos demonstrar é a identidade
\int_{V}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G} + \vec{G}\cdot\vec{\nabla}\bigr)\vec{F}\,dV \;=\; \oint_{S}\vec{F}\,(\vec{G}\cdot\hat{n})\,da.

Passo 2

Entendendo os operadores de forma componente a componente (uma aula rápida sobre notação de índices):
  • Denotemos componentes por F_i e G_j onde i,j\in\{1,2,3\}.
  • A divergência de um vetor \vec{G} é \vec{\nabla}\cdot\vec{G} = \partial_j G_j (a soma sobre j está implícita).
  • O operador \vec{G}\cdot\vec{\nabla} é o derivador direcional cujas componentes agem assim em um campo vetorial: (\vec{G}\cdot\vec{\nabla})F_i = G_j\partial_j F_i.
  • Agora considere o produto dyádico (ou produto externo) \vec{F}\vec{G}, que é um tensor de segunda ordem com componentes (\vec{F}\vec{G})_{ij} = F_i G_j.

Passo 3

Calcule a divergência do tensor \vec{F}\vec{G} componente a componente e aplique a regra do produto:
  • A divergência do tensor \vec{F}\vec{G} é o vetor com componentes
\bigl[\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G})\bigr]_i \;=\; \partial_j (F_i G_j).
  • Usando a regra do produto para derivadas,
\partial_j (F_i G_j) \;=\; (\partial_j G_j)\,F_i \;+\; G_j\,\partial_j F_i.
  • Reescrevendo em notação vetorial, para cada componente i isso diz
\bigl[\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G})\bigr]_i \;=\; (\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\,F_i \;+\; \bigl((\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}\bigr)_i.

Passo 4

Conclua a identidade diferencial (antes de integrar):
  • Como a igualdade acontece componente a componente, obtemos a igualdade vetorial
\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G}) \;=\; (\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\,\vec{F} \;+\; (\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}.
  • Aqui \vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G}) é o vetor divergência do tensor \vec{F}\vec{G}, e (\vec{F}\vec{G})\cdot\hat{n} (produto tensor por vetor) tem componentes (\vec{F}\vec{G})_{ij} n_j = F_i (G_j n_j), ou seja
(\vec{F}\vec{G})\cdot\hat{n} \;=\; \vec{F}\,(\vec{G}\cdot\hat{n}).

Passo 5

Integre e aplique o teorema da divergência:
  • Integre a igualdade vetorial do Passo 4 sobre o volume V:
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G})\,dV \;=\; \int_{V}\bigl[(\vec{\nabla}\cdot\vec{G})\vec{F} + (\vec{G}\cdot\vec{\nabla})\vec{F}\bigr]\,dV.
  • Pelo teorema da divergência (aplicado componente a componente), a integral do lado esquerdo transforma-se em integral de superfície:
\int_{V}\vec{\nabla}\cdot(\vec{F}\vec{G})\,dV \;=\; \oint_{S} (\vec{F}\vec{G})\cdot\hat{n}\,da.
  • Usando a observação do Passo 4 sobre (\vec{F}\vec{G})\cdot\hat{n} obtemos
\oint_{S} (\vec{F}\vec{G})\cdot\hat{n}\,da \;=\; \oint_{S} \vec{F}\,(\vec{G}\cdot\hat{n})\,da.

Passo 6

Organize tudo e finalize a demonstração:
  • Juntando as igualdades dos Passos 5 e 4 temos exatamente
\int_{V}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G} + \vec{G}\cdot\vec{\nabla}\bigr)\vec{F}\,dV \;=\; \oint_{S}\vec{F}\,(\vec{G}\cdot\hat{n})\,da.
  • Comentário prático e motivacional: a chave é ver o integrando como a divergência do tensor \vec{F}\vec{G} e então aplicar o teorema da divergência. Componentes e a regra do produto tornam isso mecânico — na prova foque em escrever claramente a identidade diferencial e em seguida aplicar o teorema da divergência.

Resposta

\int_{V}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{G} + \vec{G}\cdot\vec{\nabla}\bigr)\vec{F}\,dV \;=\; \oint_{S}\vec{F}\,(\vec{G}\cdot\hat{n})\,da.

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