Demonstre as seguintes identidades:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
- Existem dois campos vetoriais suficientemente suaves definidos em um domínio volumétrico
com superfície fechada e normal unitária exterior . - Os campos vetoriais são
e . - A integral de volume é sobre
e a integral de superfície é sobre a fronteira orientada pela normal exterior . - O que devemos demonstrar é a identidade
Passo 2
Entendendo os operadores de forma componente a componente (uma aula rápida sobre notação de índices):
- Denotemos componentes por
e onde . - A divergência de um vetor
é (a soma sobre está implícita). - O operador
é o derivador direcional cujas componentes agem assim em um campo vetorial: . - Agora considere o produto dyádico (ou produto externo)
, que é um tensor de segunda ordem com componentes .
Passo 3
Calcule a divergência do tensor
componente a componente e aplique a regra do produto:
- A divergência do tensor
é o vetor com componentes
- Usando a regra do produto para derivadas,
- Reescrevendo em notação vetorial, para cada componente
isso diz
Passo 4
Conclua a identidade diferencial (antes de integrar):
- Como a igualdade acontece componente a componente, obtemos a igualdade vetorial
- Aqui
é o vetor divergência do tensor , e (produto tensor por vetor) tem componentes , ou seja
Passo 5
Integre e aplique o teorema da divergência:
- Integre a igualdade vetorial do Passo 4 sobre o volume
:
- Pelo teorema da divergência (aplicado componente a componente), a integral do lado esquerdo transforma-se em integral de superfície:
- Usando a observação do Passo 4 sobre
obtemos
Passo 6
Organize tudo e finalize a demonstração:
- Juntando as igualdades dos Passos 5 e 4 temos exatamente
- Comentário prático e motivacional: a chave é ver o integrando como a divergência do tensor
e então aplicar o teorema da divergência. Componentes e a regra do produto tornam isso mecânico — na prova foque em escrever claramente a identidade diferencial e em seguida aplicar o teorema da divergência.