Considere um anel uniformemente carregado com carga total Q, situado no plano x y e com centro na origem do sistema de coordenadas.
Determine o campo elétrico no ponto P(0,0,10), localizado ao longo do eixo z.
(a) Encontre a expressão analítica do campo elétrico em P.
(b) Modele o anel como um conjunto de cargas pontuais igualmente espaçadas (por exemplo, \mathrm{N}= 10, 15 e 30), mantendo a carga total Q, e calcule numericamente o campo elétrico no ponto P.
(c) Compare os resultados numéricos com o resultado analítico e comente sobre a convergência da solução discreta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Informações fornecidas:
    • Um anel uniformemente carregado, situado no plano x y e com centro na origem.
    • Carga total do anel: Q.
    • O ponto onde queremos o campo: P(0,0,10), isto é, sobre o eixo z a uma distância z=10 da origem (unidades não explicitadas).
  • Informação que não foi dada explicitamente:
    • O problema não forneceu o raio do anel. Vou chamar o raio de R e manter expressões analíticas em função de R. Para a parte numérica (item (b)) vou escolher um valor conveniente e explicitar essa escolha — a resposta escala linearmente com Q, então a escolha numérica não altera a natureza da comparação (ver explicação nos passos).
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a expressão analítica do campo elétrico em P.
    (b) Modelar o anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas ( N=10,15,30), mantendo carga total Q, e calcular numericamente o campo em P.
    (c) Comparar os resultados numéricos com o analítico e comentar sobre a convergência da solução discreta.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Lei de Coulomb para uma carga pontual q em posição \mathbf{r}': o campo em \mathbf{r} é
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da carga ao ponto onde se calcula o campo; o denominador normaliza pela distância ao cubo para dar direção e decaimento correto.
  • Para distribuições contínuas de carga, divide-se a distribuição em pequenos elementos dq e integra-se a contribuição de cada elemento usando a forma diferencial da lei de Coulomb:
d\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,dq\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}},
e então \mathbf{E}=\displaystyle\int d\mathbf{E}.
  • Simetria: para um anel no plano xy e o ponto P no eixo z, as componentes radiais (no plano xy) das contribuições de cargas opostas se cancelam por simetria; sobra apenas a componente sobre \hat{\mathbf z}. Essa observação simplifica muito a integral.

Passo 3

Configuração geométrica e notação (definir variáveis):
  • Seja R o raio do anel (posição de um ponto do anel no plano xy é (R\cos\varphi,R\sin\varphi,0) para \varphi\in[0,2\pi)).
  • O ponto onde calculamos o campo é \mathbf{r}=(0,0,z) com z=10.
  • Um elemento de carga do anel: dq=\lambda ds, onde \lambda é a densidade linear e ds o comprimento de arco. Como a carga é uniforme,
\lambda=\frac{Q}{2\pi R},\qquad dq=\lambda R\,d\varphi=\frac{Q}{2\pi}d\varphi.
Note: aqui dq não depende de R por causa de ds=R\,d\varphi — isso é útil.
  • Distância do elemento dq em (R\cos\varphi,R\sin\varphi,0) ao ponto P(0,0,z):
\lVert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert = \sqrt{R^{2}+z^{2}}.
Importante: esta distância é a mesma para todo \varphi — é o que torna a integral fácil.

Passo 4

Calcular a contribuição de dq à componente z do campo e integrar:
  • A contribuição vetorial de dq em P pela lei de Coulomb é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,dq\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • A componente z dessa contribuição (projeção sobre \hat{\mathbf z}) é
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,dq\,\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Note que z/(R^{2}+z^{2})^{3/2} é independentemente de \varphi.
  • Integrando ao longo do anel ( \varphi de 0 a 2\pi):
E_z=\int dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}dq.
Mas \displaystyle\int_{0}^{2\pi}dq=Q. Portanto
E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Vetorialmente, o campo é ao longo do eixo z:
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf z}.}

Passo 5

Interpretação e observação sobre dependências:
  • A fórmula mostra que o campo no eixo aponta para o sentido de z (se Q>0, aponta no sentido positivo de z quando z>0) e decai com a distância conforme (R^{2}+z^{2})^{-3/2}.
  • Para z\gg R (ponto muito longe), a expressão se aproxima da de uma carga pontual Q localizada na origem: \mathbf{E}\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^{2}}\hat{\mathbf z}, pois \dfrac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\approx \dfrac{1}{z^{2}} quando R\ll z.

Passo 6

Modelagem discreta do anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas (montagem do somatório):
  • Posicione N cargas pontuais iguais q_i=Q/N em \phi_i=\dfrac{2\pi i}{N}, i=0,\dots,N-1, em coordenadas \mathbf{r}_i=(R\cos\phi_i,R\sin\phi_i,0).
  • Campo no ponto P(0,0,z) devido à carga q_i:
\mathbf{E}_i=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_i\,\frac{(0,0,z)-(R\cos\phi_i,R\sin\phi_i,0)}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q_i\,\frac{(-R\cos\phi_i,-R\sin\phi_i,z)}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Somando todas as contribuições:
\mathbf{E}=\sum_{i=0}^{N-1}\mathbf{E}_i =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\sum_{i=0}^{N-1}q_i(-R\cos\phi_i,-R\sin\phi_i,z).

Passo 7

Simplificação analítica do somatório discreto (mostra por que a solução discreta dá exatamente a contínua):
  • Substituindo q_i=Q/N no somatório:
\sum_{i=0}^{N-1}q_i(-R\cos\phi_i,-R\sin\phi_i,z) =\frac{Q}{N}\Big(-R\sum_{i}\cos\phi_i,\,-R\sum_{i}\sin\phi_i,\,\sum_{i}z\Big).
  • Para os N ângulos \phi_i=\dfrac{2\pi i}{N} temos as somas bem conhecidas de uma progressão geométrica sobre a circunferência:
\sum_{i=0}^{N-1}\cos\phi_i=0,\qquad \sum_{i=0}^{N-1}\sin\phi_i=0.
Essas somas anulam-se exatamente para qualquer N\ge 1 desde que as cargas sejam igualmente espaçadas ao longo de 0 a 2\pi.
  • Assim o vetor somatório reduz-se a
\frac{Q}{N}\big(0,0,\underbrace{\sum_{i=0}^{N-1}z}_{=Nz}\big)=(0,0,Qz).
  • Substituindo de volta em \mathbf{E} obtemos exatamente
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Qz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf z},
que é idêntico ao resultado contínuo. Portanto, para um ponto sobre o eixo do anel, modelar o anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas fornece o mesmo resultado analítico exato (não é apenas aproximação) — a única diferença prática é erro numérico de arredondamento na soma.

Passo 8

Cálculo numérico ilustrativo (escolhas e números concretos para comparar):
  • Para mostrar números concretos, escolho R=1 (unidade arbitrária) e z=10 (conforme o ponto P). A escolha de R e a escala da carga Q não afetam a conclusão sobre convergência; resultados escalares com Q podem ser obtidos multiplicando por Q.
  • Primeiro, calcule a quantidade normalizada
E_{\text{norm}}:=\frac{E_z}{kQ}=\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}},\qquad k:=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \text{SI}.
Com R=1 e z=10:
R^{2}+z^{2}=1+100=101, \qquad (R^{2}+z^{2})^{3/2}=101^{3/2}\approx 1015{,}0374377332098,
E_{\text{norm}}=\frac{10}{1015{,}0374377332098}\approx 0{,}00985222904.
  • Valor do campo para Q=1\\ \mathrm{C} (apenas para ter unidades):
E_z=kQ\,E_{\text{norm}}\approx (8{,}9875517923\times10^{9})\times1\times0{,}00985222904 \approx 8{,}8547061\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
  • Para uma carga mais realista de Q=1{,}0\\ \mu\mathrm{C}=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}:
E_z\approx 8{,}8547061\times10^{7}\times10^{-6}\approx 88{,}547061\\ \mathrm{N/C}.
  • Agora a comparação com o modelo discreto N=10,15,30: conforme mostrado no passo anterior, para qualquer N com cargas igualmente espaçadas o somatório dá exatamente o mesmo E_z. Logo numericamente (ignorando erros de ponto flutuante), para N=10,15,30 obtemos
E_z^{(N)}=E_z\quad\text{(exatamente, analiticamente)}.
Em termos numéricos com R=1 e Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} isto dá, para todos esses N,
E_z^{(N)}\approx 88{,}547061\\ \mathrm{N/C}.

Passo 9

Comentário final sobre convergência e interpretação física (didático e encorajador):
  • Por que isso aconteceu? Porque para o ponto no eixo todos os elementos do anel estão à mesma distância de P e têm a mesma projeção z/\sqrt{R^{2}+z^{2}} na direção z. Assim integrar continua ou somar pontos igualmente espaçados são operações que produzem exatamente a mesma contribuição total às componentes z; as componentes x,y cancelam exatamente quando as posições são simetricamente distribuídas.
  • Na prática numérica, o resultado discreto converge “instantaneamente”: já com N=3 (triângulo regular) as somas das componentes x,y são zero e a componente z é a mesma expressão. Portanto não há erro de discretização estrutural para pontos sobre o eixo; o único erro será o numérico (arredondamento).
  • Atenção: isso vale especificamente para pontos sobre o eixo do anel e quando as cargas discretas estão perfeitamente igualmente espaçadas. Para pontos fora do eixo ou para arranjos não uniformes, a discretização dará aproximação que converge para o contínuo quando N\to\infty.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf z}.
(b) Para R=1 e z=10 (exemplo numérico) a quantidade normalizada é
\displaystyle \frac{E_z}{kQ}=\frac{10}{101^{3/2}}\approx 0{,}00985222904.
Logo, tomando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{SI},
\displaystyle E_z\approx 8{,}8547061\times10^{7}\,Q\\ (\mathrm{N/C}),
que para Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} E_z\approx 88{,}547061\\ \mathrm{N/C}.
Para N=10,\,15,\,30 (cargas igualmente espaçadas) obtém-se numericamente o mesmo valor E_z (diferenças apenas de arredondamento).
(c) A solução discreta, com cargas igualmente espaçadas, coincide exatamente com a solução analítica para pontos sobre o eixo do anel; portanto a “convergência” é imediata (erro de discretização nulo), restando apenas erros numéricos de ponto flutuante em implementações.

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