Considere um anel uniformemente carregado com carga total Q, situado no plano x y e com centro na origem do sistema de coordenadas.
Determine o campo elétrico no ponto P(0,0,10), localizado ao longo do eixo z.
(a) Encontre a expressão analítica do campo elétrico em P.
(b) Modele o anel como um conjunto de cargas pontuais igualmente espaçadas (por exemplo, \mathrm{N}= 10, 15 e 30), mantendo a carga total Q, e calcule numericamente o campo elétrico no ponto P.
(c) Compare os resultados numéricos com o resultado analítico e comente sobre a convergência da solução discreta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações fornecidas:
Um anel uniformemente carregado, situado no plano x y e com centro na origem.
Carga total do anel: Q.
O ponto onde queremos o campo: P(0,0,10), isto é, sobre o eixo z a uma distância z=10 da origem (unidades não explicitadas).
Informação que não foi dada explicitamente:
O problema não forneceu o raio do anel. Vou chamar o raio de R e manter expressões analíticas em função de R. Para a parte numérica (item (b)) vou escolher um valor conveniente e explicitar essa escolha — a resposta escala linearmente com Q, então a escolha numérica não altera a natureza da comparação (ver explicação nos passos).
Perguntas:
(a) Encontrar a expressão analítica do campo elétrico em P.
(b) Modelar o anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas (N=10,15,30), mantendo carga total Q, e calcular numericamente o campo em P.
(c) Comparar os resultados numéricos com o analítico e comentar sobre a convergência da solução discreta.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
Lei de Coulomb para uma carga pontual q em posição \mathbf{r}': o campo em \mathbf{r} é
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da carga ao ponto onde se calcula o campo; o denominador normaliza pela distância ao cubo para dar direção e decaimento correto.
Para distribuições contínuas de carga, divide-se a distribuição em pequenos elementos dq e integra-se a contribuição de cada elemento usando a forma diferencial da lei de Coulomb:
Simetria: para um anel no plano xy e o ponto P no eixo z, as componentes radiais (no plano xy) das contribuições de cargas opostas se cancelam por simetria; sobra apenas a componente sobre \hat{\mathbf z}. Essa observação simplifica muito a integral.
Passo 3
Configuração geométrica e notação (definir variáveis):
Seja R o raio do anel (posição de um ponto do anel no plano xy é (R\cos\varphi,R\sin\varphi,0) para \varphi\in[0,2\pi)).
O ponto onde calculamos o campo é \mathbf{r}=(0,0,z) com z=10.
Um elemento de carga do anel: dq=\lambda ds, onde \lambda é a densidade linear e ds o comprimento de arco. Como a carga é uniforme,
A fórmula mostra que o campo no eixo aponta para o sentido de z (se Q>0, aponta no sentido positivo de z quando z>0) e decai com a distância conforme (R^{2}+z^{2})^{-3/2}.
Para z\gg R (ponto muito longe), a expressão se aproxima da de uma carga pontual Q localizada na origem: \mathbf{E}\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z^{2}}\hat{\mathbf z}, pois \dfrac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\approx \dfrac{1}{z^{2}} quando R\ll z.
Passo 6
Modelagem discreta do anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas (montagem do somatório):
Posicione N cargas pontuais iguais q_i=Q/N em \phi_i=\dfrac{2\pi i}{N}, i=0,\dots,N-1, em coordenadas \mathbf{r}_i=(R\cos\phi_i,R\sin\phi_i,0).
que é idêntico ao resultado contínuo. Portanto, para um ponto sobre o eixo do anel, modelar o anel por N cargas pontuais igualmente espaçadas fornece o mesmo resultado analítico exato (não é apenas aproximação) — a única diferença prática é erro numérico de arredondamento na soma.
Passo 8
Cálculo numérico ilustrativo (escolhas e números concretos para comparar):
Para mostrar números concretos, escolho R=1 (unidade arbitrária) e z=10 (conforme o ponto P). A escolha de R e a escala da carga Q não afetam a conclusão sobre convergência; resultados escalares com Q podem ser obtidos multiplicando por Q.
Agora a comparação com o modelo discreto N=10,15,30: conforme mostrado no passo anterior, para qualquer N com cargas igualmente espaçadas o somatório dá exatamente o mesmo E_z. Logo numericamente (ignorando erros de ponto flutuante), para N=10,15,30 obtemos
Em termos numéricos com R=1 e Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} isto dá, para todos esses N,
E_z^{(N)}\approx 88{,}547061\\ \mathrm{N/C}.
Passo 9
Comentário final sobre convergência e interpretação física (didático e encorajador):
Por que isso aconteceu? Porque para o ponto no eixo todos os elementos do anel estão à mesma distância de P e têm a mesma projeção z/\sqrt{R^{2}+z^{2}} na direção z. Assim integrar continua ou somar pontos igualmente espaçados são operações que produzem exatamente a mesma contribuição total às componentes z; as componentes x,y cancelam exatamente quando as posições são simetricamente distribuídas.
Na prática numérica, o resultado discreto converge “instantaneamente”: já com N=3 (triângulo regular) as somas das componentes x,y são zero e a componente z é a mesma expressão. Portanto não há erro de discretização estrutural para pontos sobre o eixo; o único erro será o numérico (arredondamento).
Atenção: isso vale especificamente para pontos sobre o eixo do anel e quando as cargas discretas estão perfeitamente igualmente espaçadas. Para pontos fora do eixo ou para arranjos não uniformes, a discretização dará aproximação que converge para o contínuo quando N\to\infty.
(b) Para R=1 e z=10 (exemplo numérico) a quantidade normalizada é \displaystyle \frac{E_z}{kQ}=\frac{10}{101^{3/2}}\approx 0{,}00985222904.
Logo, tomando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{SI}, \displaystyle E_z\approx 8{,}8547061\times10^{7}\,Q\\ (\mathrm{N/C}),
que para Q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} dá E_z\approx 88{,}547061\\ \mathrm{N/C}.
Para N=10,\,15,\,30 (cargas igualmente espaçadas) obtém-se numericamente o mesmo valor E_z (diferenças apenas de arredondamento).
(c) A solução discreta, com cargas igualmente espaçadas, coincide exatamente com a solução analítica para pontos sobre o eixo do anel; portanto a “convergência” é imediata (erro de discretização nulo), restando apenas erros numéricos de ponto flutuante em implementações.