Problema 9: Campo Interno em Transformadores (Empresa: Energy Conversion Tech)
Contexto: O núcleo e as bobinas de um transformador geram campos elétricos que podem levar à degradação do isolamento do óleo. Modele a bobina como um disco fino (placa de carga) com raio R e densidade de carga superficial uniforme \rho_{s}.
a) Qualitativa: Compare a aplicação da Lei de Coulomb e da Lei de Gauss para calcular o campo E de um disco carregado. Por que a Lei de Coulomb é a escolha mais direta para este problema, apesar de exigir uma integral mais complexa?
b) Quantitativa: Calcule a magnitude do vetor campo elétrico E em um ponto P no eixo de simetria do disco, a uma distância z do centro. Dê a expressão em função de z, R e \rho_{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Disco fino (placa) de raio R.
    • Densidade de carga superficial uniforme \rho_{s} (unidade: carga por área).
    • Ponto P localizado sobre o eixo de simetria do disco, a uma distância z do centro do disco.
  • Perguntas:
    • (a) Comparar qualitativamente o uso da Lei de Coulomb e da Lei de Gauss para calcular o campo \mathbf{E} de um disco carregado. Explicar por que a Lei de Coulomb é a escolha mais direta aqui, mesmo exigindo uma integral mais trabalhosa.
    • (b) Calcular quantitativamente a magnitude do vetor campo elétrico \mathbf{E} no ponto P em função de z, R e \rho_{s}.

Passo 2

Resposta qualitativa (parte a): explicar as duas leis e como se aplicam.
  • Lei de Coulomb (para distribuições contínuas): a contribuição diferencial de um elemento de carga dq para o campo elétrico no ponto de observação é dada por
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, r é a distância entre dq e o ponto, e \hat{\mathbf{r}} é o versor na direção de dq\to ponto. Para uma distribuição contínua soma-se (integra-se) todas as contribuições d\mathbf{E}.
  • Lei de Gauss (integral): relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total interna:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Ela é muito poderosa quando existe simetria suficiente (campo constante sobre partes da superfície escolhida), permitindo obter \mathbf{E} sem integrar cada contribuição diferencial.
Por que a Lei de Coulomb é mais direta para o disco?
  • O disco finito não tem a simetria completa (esférica, cilíndrica infinita ou plano infinito) que faria o campo ser constante sobre uma superfície de Gauss simples. Portanto, com Gauss não há uma superfície cuja \mathbf{E} seja uniforme e alinhada com d\mathbf{A} em todos os pontos, então a Lei de Gauss não fornece diretamente \mathbf{E} em função de z.
  • A Lei de Coulomb, por outro lado, permite somar as contribuições de cada elemento de carga levando em conta a geometria: usando simetria axial (o disco é circular e \rho_s é uniforme) pode-se reduzir o problema a uma integral unidimensional (integrando em raios) e obter o campo no eixo. Logo, apesar de exigir uma integral explícita, a integração é direta e explorável por simetria axial. Em resumo: Gauss é mais simples quando existe simetria máxima; para um disco finito essa simetria não é suficiente, então Coulomb é o caminho natural.

Passo 3

Escolha de método e descrição do procedimento (início da parte b).
  • Vou usar a Lei de Coulomb para distribuições contínuas, aproveitando a simetria axial do disco.
  • Estratégia concreta: decompor o disco em anéis concêntricos de raio r e espessura dr. Cada anel tem carga dq e produz no ponto P (no eixo) um campo que aponta ao longo do eixo; componentes radiais se cancelam por simetria, restando apenas a componente axial dE_z. Integrar dE_z de r=0 até r=R.
Definições e elementos:
  • Elemento de área do anel: dA = 2\pi r\,dr.
  • Carga do anel: dq=\rho_{s}\,dA=\rho_{s}\,2\pi r\,dr.
  • Distância do elemento de carga (num ponto do anel) até P: \sqrt{r^{2}+z^{2}}.
  • Versor axial (cosseno do ângulo entre \hat{\mathbf{r}} e o eixo z): \cos\theta = \dfrac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.

Passo 4

Expressar a contribuição diferencial do anel para a componente axial do campo e simplificar.
  • A contribuição total (magnitude) do campo produzido por dq a uma distância \sqrt{r^{2}+z^{2}} é, pela Lei de Coulomb,
dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}+z^{2}}.
Mas apenas a componente axial (paralela ao eixo) sobrevive após integração em ângulo; essa componente é multiplicada por \cos\theta. Assim
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{r^{2}+z^{2}}\cdot\frac{z}{\sqrt{r^{2}+z^{2}}}.
Agora substituímos dq=\rho_{s}2\pi r\,dr:
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho_{s}2\pi r\,dr\;z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Simplificando constantes:
dE_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_0}\,\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Calcular a integral em r de 0 a R.
  • A componente axial total é
E_{z}=\int_{0}^{R} dE_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Fazer a substituição u=r^{2}+z^{2}. Então du=2r\,dr e r\,dr=\dfrac{du}{2}. Os limites: quando r=0, u=z^{2}; quando r=R, u=R^{2}+z^{2}.
  • A integral torna-se
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}}u^{-3/2}\,du.
  • Calcule a primitiva: \int u^{-3/2}du = -2u^{-1/2}. Logo
\frac{1}{2}\int_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}}u^{-3/2}\,du=\frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} = \left[-u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}}.
  • Avaliando os limites:
\left[-u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{R^{2}+z^{2}} = -\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{z^{2}}} = \frac{1}{z} - \frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
(Nota: usamos \sqrt{z^{2}}=|z|. Para pontos no eixo a distância z tomada positiva para um lado; aqui consideramos z\ge 0; a expressão pode ser escrita com |z| se desejar).

Passo 6

Montar o resultado final para E_{z} e interpretar.
  • Substituindo a integral no fator front:
E_{z}=\frac{\rho_{s} z}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
  • Simplificando z no produto:
E_{z}=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
  • Esta expressão fornece a componente axial do campo no ponto P. Se a carga do disco for positiva, \mathbf{E} aponta para fora do disco ao longo do eixo (no sentido +z se z>0); para a magnitude toma-se o valor positivo acima.
Limites de verificação (para intuição):
  • No centro do disco, z=0: \;E(0)=\dfrac{\rho_{s}}{2\varepsilon_0}. Isso coincide com o valor conhecido para o campo logo acima de uma placa infinitamente grande (o limite R\to\infty também dá esse valor).
  • Para z\gg R (distância muito maior que o raio), a expressão se reduz ao campo de uma carga pontual Q=\pi R^{2}\rho_{s}:
E_{z}\xrightarrow[z\gg R]{}\frac{\rho_{s}R^{2}}{4\varepsilon_0 z^{2}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 z^{2}},
o que confirma o comportamento de dipolo/ponto distante.

Resposta

(a) A Lei de Coulomb é preferida porque o disco finito não possui a simetria necessária para aplicar a Lei de Gauss de forma a obter \mathbf{E} diretamente; a Gauss só é prática quando o campo é constante sobre partes escolhidas da superfície de Gauss (ex.: plano infinito, esfera, cilindro infinito). Para o disco finito, a simetria axial permite somar (integrar) contribuições usando Coulomb, portanto Coulomb é mais direto apesar da integral.
(b) E(z)=\frac{\rho_{s}}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).

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