Problema 10: Propagação de Sinal em Linhas Aéreas (Empresa: Wireless & Cable Comms)
Contexto: Linhas aéreas de comunicação são afetadas por condições climáticas que podem acumular carga eletrostática. Considere uma linha modelada como uma linha de carga infinita com densidade \rho_{L}.
a) Qualitativa: O campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita tem um comportamento de decaimento inversamente proporcional à distância radial ( 1 / r ). Como esse comportamento afeta a escolha da distância de segurança para outras linhas de comunicação e qual a lei que o descreve?
b) Quantitativa: O campo elétrico \mathbf{E} de uma linha de carga infinita no vácuo é dado por \mathbf{E}=\frac{\rho L}{2 \pi \epsilon_{0} r} \mathbf{a}_{r}. Utilize este resultado e o Teorema da Divergência ( \nabla \cdot \mathbf{E} ) em coordenadas cilíndricas para mostrar que a densidade de carga volumétrica \rho_{v} é zero em todos os pontos, exceto na própria linha. (Lembre-se que \nabla \cdot \mathbf{E}=\rho_{v} / \epsilon_{0} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece informações claras. Vou listar cada pergunta e os dados que temos, sem resolver ainda:
  • Pergunta (a) (qualitativa): Como o comportamento do campo elétrico de uma linha de carga infinita, que decai como 1/r, afeta a escolha da distância de segurança entre linhas de comunicação? Qual a lei que descreve esse comportamento?
  • Pergunta (b) (quantitativa): A expressão do campo elétrico no vácuo é dada por
\mathbf{E}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}\,\mathbf{a}_{r}.
Usando esse resultado e o Teorema da Divergência ( \nabla\cdot\mathbf{E}) em coordenadas cilíndricas, mostrar que a densidade de carga volumétrica \rho_{v} é zero em todos os pontos exceto na própria linha (lembrando que \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{v}/\epsilon_{0}).
Informações dadas que vamos usar:
  • A distribuição é uma linha de carga infinita com densidade linear \rho_{L}.
  • O campo fora da linha é radial e tem módulo \dfrac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}.
  • Relação entre divergência do campo e densidade volumétrica: \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}.
  • O objetivo é mostrar que \rho_{v}=0 para r>0 e que a carga está concentrada na linha r=0.

Passo 2

(a) Entendendo qualitativamente o decaimento 1/r e suas consequências práticas.
  • O fato de o campo escalar (magnitude) obedecer
E(r)\propto\frac{1}{r}
significa que ele diminui lentamente quando r aumenta. Comparando com uma fonte pontual (onde E\propto 1/r^{2}), o campo de uma linha infinita espalha-se menos rapidamente — a influência da linha estende-se a distâncias maiores.
  • Consequência prática para distância de segurança: se existe um limite máximo de campo admissível E_{\text{max}} (por exemplo, para evitar faíscas, acoplamento indesejado ou danos aos cabos), a distância mínima s entre linhas deve satisfazer aproximadamente
E(s)=\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0}s}\le E_{\text{max}} \quad\Rightarrow\quad s\ge \frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} E_{\text{max}}}.
Isto dá uma estimativa direta: para reduzir o campo abaixo de um limite, é preciso separar as linhas proporcionalmente à densidade linear de carga e inversamente proporcional ao limite de campo.
  • Lei que descreve esse comportamento: esse 1/r resulta da simetria cilíndrica da linha e é obtido pela aplicação de leis fundamentais do eletromagnetismo — em especial pela Lei de Gauss (forma integral), que para uma linha infinita e simetria cilíndrica leva à expressão \mathbf{E}=\dfrac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}\,\mathbf{a}_{r}. Também pode ser obtido resolvendo a equação de Poisson com a simetria apropriada, mas a forma física que justifica o decaimento e a conexão com carga é a Lei de Gauss.

Passo 3

Preparando o cálculo de (b): fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e identificação dos componentes do campo.
  • Fórmula para a divergência de um campo vetorial \mathbf{F}=F_{r}\,\mathbf{a}_{r}+F_{\varphi}\,\mathbf{a}_{\varphi}+F_{z}\,\mathbf{a}_{z} em coordenadas cilíndricas:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r F_{r}\bigr) +\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi} +\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.
Aqui cada termo tem um papel:
  • \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}(rF_{r}) vem da variação radial,
  • \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi} é a contribuição angular,
  • \dfrac{\partial F_{z}}{\partial z} é a contribuição axial.
  • No nosso campo elétrico dado,
\mathbf{E}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}\,\mathbf{a}_{r},
temos
E_{r}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r},\qquad E_{\varphi}=0,\qquad E_{z}=0.

Passo 4

Cálculo da divergência para r>0 usando a fórmula cilíndrica e conclusão local de que \rho_{v}=0 fora da linha.
  • Calculemos o primeiro termo:
r E_{r}=r\cdot\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}=\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0}},
que é uma constante (independente de r) para r>0.
  • Portanto
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r E_{r}\bigr) =\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0}}\right) =\frac{1}{r}\cdot 0 = 0.
  • Como E_{\varphi}=0 e E_{z}=0, os outros termos da divergência também são zero. Logo, para todo ponto com r>0,
\nabla\cdot\mathbf{E}=0.
  • Usando a relação \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}, concluímos que para r>0
\rho_{v}=0.
Isto prova que não há densidade volumétrica de carga espalhada pelo espaço fora da própria linha: a carga volumétrica é nula em todos os pontos com r>0.

Passo 5

Mostrando que a carga total por comprimento está na linha ( r=0): uso do Teorema da Divergência (forma integral) para localizar a carga.
  • Considere um cilindro de raio a>0 e comprimento L centrado na linha (eixo z). Pelo Teorema da Divergência:
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{E}\,dV = \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
  • O lado superior e inferior do cilindro têm fluxo zero porque \mathbf{E} é radial (ortogonal aos tetos). O fluxo total sai apenas pela superfície lateral de área 2\pi a L. No ponto r=a o campo tem magnitude E(a)=\dfrac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} a} radialmente para fora, então o fluxo pela superfície lateral é
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} =E(a)\cdot(2\pi a L) =\frac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} a}\cdot 2\pi a L =\frac{\rho_{L} L}{\epsilon_{0}}.
  • Pelo lado esquerdo da igualdade do Teorema da Divergência e usando \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}, obtemos
\int_{V}\frac{\rho_{v}}{\epsilon_{0}}\,dV=\frac{\rho_{L} L}{\epsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad \int_{V}\rho_{v}\,dV=\rho_{L} L.
  • Interpretando: toda a carga contida no volume cilíndrico de comprimento L é exatamente \rho_{L} L. Como acabamos de mostrar que \rho_{v}=0 em todos os pontos com r>0, essa carga não pode estar espalhada no volume r>0; ela está concentrada no eixo r=0.

Passo 6

Interpretação final e forma da densidade como distribuição (delta de Dirac).
  • Conclusão: a densidade volumétrica \rho_{v} é zero para todo r>0 e toda a carga linear \rho_{L} está concentrada na linha r=0. Em linguagem matemática de distribuições, isso é expresso por
\rho_{v}(x,y,z)=\rho_{L}\,\delta(x)\,\delta(y),
onde \delta é a função delta de Dirac em coordenadas cartesianas no plano transversal. Essa expressão significa que a carga existe somente quando x=0 e y=0 (ou seja, na linha r=0) e que a carga por unidade de comprimento ao longo de z é \rho_{L}.
  • Observação sobre escrita em coordenadas cilíndricas: uma forma equivalente, que deve ser interpretada com cuidado por causa da medida de integração, envolve a delta radial; uma formulação segura e direta é a dada em coordenadas cartesianas acima.

Resposta

(a) O decaimento E(r)\propto 1/r faz com que o campo da linha se estenda relativamente longe, exigindo distâncias de segurança maiores para reduzir o campo abaixo de um limite E_{\text{max}}; uma estimativa prática é s\ge \dfrac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} E_{\text{max}}}. Esse comportamento é descrito pela Lei de Gauss (aplicada à simetria cilíndrica), que leva à expressão \mathbf{E}=\dfrac{\rho_{L}}{2\pi\epsilon_{0} r}\,\mathbf{a}_{r}.
(b) Para r>0 vale \nabla\cdot\mathbf{E}=0, logo \rho_{v}=0 em todos os pontos com r>0. A carga total por comprimento contida num cilindro de raio a e comprimento L é \rho_{L}L, portanto toda a carga está concentrada na linha r=0. Em termos de distribuições,
\rho_{v}(x,y,z)=\rho_{L}\,\delta(x)\,\delta(y).

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