Problema 10: Propagação de Sinal em Linhas Aéreas (Empresa: Wireless & Cable Comms)
Contexto: Linhas aéreas de comunicação são afetadas por condições climáticas que podem acumular carga eletrostática. Considere uma linha modelada como uma linha de carga infinita com densidade
.
a) Qualitativa:
campo elétrico gerado por uma linha de carga infinita tem um comportamento de decaimento inversamente proporcional à distância radial (
). Como esse comportamento afeta a escolha da distância de segurança para outras linhas de comunicação e qual a lei que o descreve?
b) Quantitativa: O campo elétrico
de uma linha de carga infinita no vácuo é dado por
. Utilize este resultado e o Teorema da Divergência (
) em coordenadas cilíndricas para mostrar que a densidade de carga volumétrica
é zero em todos os pontos, exceto na própria linha. (Lembre-se que
).
a) Qualitativa:
b) Quantitativa: O campo elétrico
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece informações claras. Vou listar cada pergunta e os dados que temos, sem resolver ainda:
-
Pergunta (a) (qualitativa): Como o comportamento do campo elétrico de uma linha de carga infinita, que decai como
, afeta a escolha da distância de segurança entre linhas de comunicação? Qual a lei que descreve esse comportamento? -
Pergunta (b) (quantitativa): A expressão do campo elétrico no vácuo é dada por
Usando esse resultado e o Teorema da Divergência (
) em coordenadas cilíndricas, mostrar que a densidade de carga volumétrica
é zero em todos os pontos exceto na própria linha (lembrando que
).
Informações dadas que vamos usar:
- A distribuição é uma linha de carga infinita com densidade linear
. - O campo fora da linha é radial e tem módulo
. - Relação entre divergência do campo e densidade volumétrica:
. - O objetivo é mostrar que
para e que a carga está concentrada na linha .
Passo 2
(a) Entendendo qualitativamente o decaimento
e suas consequências práticas.
- O fato de o campo escalar (magnitude) obedecer
significa que ele diminui lentamente quando
aumenta. Comparando com uma fonte pontual (onde
), o campo de uma linha infinita espalha-se menos rapidamente — a influência da linha estende-se a distâncias maiores.
- Consequência prática para distância de segurança: se existe um limite máximo de campo admissível
(por exemplo, para evitar faíscas, acoplamento indesejado ou danos aos cabos), a distância mínima entre linhas deve satisfazer aproximadamente
Isto dá uma estimativa direta: para reduzir o campo abaixo de um limite, é preciso separar as linhas proporcionalmente à densidade linear de carga e inversamente proporcional ao limite de campo.
- Lei que descreve esse comportamento: esse
resulta da simetria cilíndrica da linha e é obtido pela aplicação de leis fundamentais do eletromagnetismo — em especial pela Lei de Gauss (forma integral), que para uma linha infinita e simetria cilíndrica leva à expressão . Também pode ser obtido resolvendo a equação de Poisson com a simetria apropriada, mas a forma física que justifica o decaimento e a conexão com carga é a Lei de Gauss.
Passo 3
Preparando o cálculo de (b): fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e identificação dos componentes do campo.
- Fórmula para a divergência de um campo vetorial
em coordenadas cilíndricas:
Aqui cada termo tem um papel:
-
vem da variação radial, -
é a contribuição angular, -
é a contribuição axial. -
No nosso campo elétrico dado,
temos
Passo 4
Cálculo da divergência para
usando a fórmula cilíndrica e conclusão local de que
fora da linha.
- Calculemos o primeiro termo:
que é uma constante (independente de
) para
.
- Portanto
- Como
e , os outros termos da divergência também são zero. Logo, para todo ponto com ,
- Usando a relação
, concluímos que para
Isto prova que não há densidade volumétrica de carga espalhada pelo espaço fora da própria linha: a carga volumétrica é nula em todos os pontos com
.
Passo 5
Mostrando que a carga total por comprimento está na linha (
): uso do Teorema da Divergência (forma integral) para localizar a carga.
- Considere um cilindro de raio
e comprimento centrado na linha (eixo ). Pelo Teorema da Divergência:
- O lado superior e inferior do cilindro têm fluxo zero porque
é radial (ortogonal aos tetos). O fluxo total sai apenas pela superfície lateral de área . No ponto o campo tem magnitude radialmente para fora, então o fluxo pela superfície lateral é
- Pelo lado esquerdo da igualdade do Teorema da Divergência e usando
, obtemos
- Interpretando: toda a carga contida no volume cilíndrico de comprimento
é exatamente . Como acabamos de mostrar que em todos os pontos com , essa carga não pode estar espalhada no volume ; ela está concentrada no eixo .
Passo 6
Interpretação final e forma da densidade como distribuição (delta de Dirac).
- Conclusão: a densidade volumétrica
é zero para todo e toda a carga linear está concentrada na linha . Em linguagem matemática de distribuições, isso é expresso por
onde
é a função delta de Dirac em coordenadas cartesianas no plano transversal. Essa expressão significa que a carga existe somente quando
e
(ou seja, na linha
) e que a carga por unidade de comprimento ao longo de
é
.
- Observação sobre escrita em coordenadas cilíndricas: uma forma equivalente, que deve ser interpretada com cuidado por causa da medida de integração, envolve a delta radial; uma formulação segura e direta é a dada em coordenadas cartesianas acima.
Resposta
(a) O decaimento
faz com que o campo da linha se estenda relativamente longe, exigindo distâncias de segurança maiores para reduzir o campo abaixo de um limite
; uma estimativa prática é
. Esse comportamento é descrito pela Lei de Gauss (aplicada à simetria cilíndrica), que leva à expressão
.
(b) Para
vale
, logo
em todos os pontos com
. A carga total por comprimento contida num cilindro de raio
e comprimento
é
, portanto toda a carga está concentrada na linha
. Em termos de distribuições,