Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga lambda, raio R e carga total Q . Se o anel está posicionado no plano x y e seu centro está localizado no ponto ( 0,0, d ), sabemos que o vetor do campo em um ponto z que passa pelo seu eixo, é dado por:
E=K Q(z-d)[R^2+(z-d)^2]^3 / 2 k(N / C)
Considere agora que temos posicionados três anéis, com raios R1=R3=R e R2=2 R com centros em P1=(0,0,-5), P2=(0,0,0) e P3=(0,0,5). Sejam suas distribuições de cargas dadas por lambda1=lambda3=lambda e lambda2=-lambda. Determine:
  1. O campo resultante no ponto P=(0,0,0).
  2. O campo resultante no ponto P=(0,0,5).
    (Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de três anéis carregados e pede pra achar o campo elétrico resultante em dois pontos sobre o eixo deles. A matéria aqui é eletrostática: campo elétrico de um anel uniformemente carregado e superposição de campos.
O que precisamos:
  1. Fórmula do campo no eixo de um anel de carga total vec E(z)=K,Q,(z-d)l[R^2+(z-d)^2r]^3/2;hat k, K=14pivarepsilon0 , raio Q=lambdatimescircunferência = lambda,(2pi R) , centrado em :
  1. Relação entre densidade linear e carga total :
ê
  1. Princípio da superposição: campo total é soma vetorial dos campos de cada anel.
Agora, manos, bora calcular nos dois pontos pedidos.

Passo 2

Ponto vec E1 =K,Q1,(0-(-5))l[R^2+(5)^2r]^3/2hat k =K,2pilambda R;cdot5l(R^2+25r)^3/2;hat k ;;(+hat k) . Vamos aos anéis:
  1. Anel 1:
    • vec E3 =K,2pilambda R;(-5)l(R^2+25r)^3/2hat k =-,K,2pilambda R;5l(R^2+25r)^3/2;hat k ;;(-hat k) , centro em vec E(0,0,0)=vec E1+vec E2+vec E3=0 , .
    • Carga .
    • No ponto , .
  2. Anel 3:
    • , centro em , .
    • .
    • .
    Esses dois têm mesma magnitude e sentidos opostos, então se cancelam:
    .
  3. Anel 2:
    • , centro em , .
    • .
    • No ponto : , então
Somando tudo em :

Passo 3

Ponto vec E1 =K,2pilambda R;cdot10l(R^2+100r)^3/2;hat k =;+hat k;K,20pilambda R(R^2+100)^3/2 . De novo, cada anel:
  1. Anel 1 ( vec E2 =K,-4pilambda R;cdot5l[(2R)^2+5^2r]^3/2;hat k =-,hat k;K,20pilambda R(4R^2+25)^3/2 , vec E(0,0,5) =hat k;K,20pilambda R, l[1(R^2+100)^3/2-1(4R^2+25)^3/2r] ):
    • .
  2. Anel 2 ( , , ):
    • .
  3. Anel 3 ( , ):
    • .
Somando em :

Resposta

  1. Em boxedvec E =K,20pilambda R, l[1(R^2+100)^3/2-1(4R^2+25)^3/2r];hat k :
  2. Em :

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