Considere uma esfera de raio R, feita com um material isolante (dielétrico), com densidade de carga rho, distribuída uniformemente e carga total Q.
  1. Utilizando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico para r e r>R.
  2. Se a esfera fosse feita com um material condutor, carregada com a mesma carga total Q, qual seria o comportamento de campo para r e r>R ?
  3. Esboce o gráfico do campo em função de r para os dois casos anteriores.

Passo 1

Beleza, a questão fala de duas situações com uma esfera de raio oint Ecdot dA ;=;Qintvarepsilon0 e carga total :
  1. esfera isolante (densidade de carga uniforme ),
  2. esfera condutora com mesma carga.
    O que precisamos usar é a Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que, escolhendo uma superfície gaussiana (aqui, uma esfera de raio ), conseguimos achar o campo elétrico dependendo de quanto de carga está dentro dessa superfície.

Passo 2

(Esfera isolante, Qrm int = rho ,43pi r^3 = Qtfrac43pi R^3cdot 43pi r^3 = Q,r^3R^3 )
  1. Primeiro, qual a carga envolvida pela esfera de raio E(4pi r^2) = Qrm intvarepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r) = 14pivarepsilon0Q,r^3/R^3r^2 = 14pivarepsilon0,QR^3,r = rho,r3,varepsilon0 ?
    • A densidade volumétrica é E(r) = rho,r3varepsilon0 (cresce linearmente com (r)) .
    • O volume até é .
      Então
  2. Pela Lei de Gauss, escolhemos superfície de raio , então
  3. Conclusão: para na esfera isolante

Passo 3

(Esfera isolante, Qrm int = Q )
  1. Agora a superfície engloba toda a carga E(4pi r^2) = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2 . Logo
E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2 (comportamento de carga pontual)
  1. Pela Gauss, em :
  1. Conclusão: fora da esfera isolante

Passo 4

(Esfera condutora)
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga fica na superfície e o campo no interior é zero.
  • Para E(r) = 0 : E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2
  • Para : a carga total está toda “na casca”, então o campo fora é igual ao de um ponto:

Passo 5

(Gráfico de vs.\ )
  1. Esfera isolante:
    • de até : reta subindo ( ).
    • de em diante: cai como .
  2. Esfera condutora:
    • para ,
    • salta no e segue caindo como .
      Visualmente daria algo assim (eixo horizontal , vertical ):
    isolante: /\ then curvas decrescentes
    condutor: ____|‾‾‾ decrescente

Resposta

Esfera isolante:
boxed% E(r)= dfracrho,r3varepsilon0, & rR
Esfera condutora:
boxed% E(r)= 0, & rR

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