Considere uma esfera de raio
, feita com um material isolante (dielétrico), com densidade de carga
, distribuída uniformemente e carga total Q.
- Utilizando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico para
e
.
- Se a esfera fosse feita com um material condutor, carregada com a mesma carga total Q, qual seria o comportamento de campo para
e
?
- Esboce o gráfico do campo em função de r para os dois casos anteriores.
Passo 1
Beleza, a questão fala de duas situações com uma esfera de raio
e carga total
:
- esfera isolante (densidade de carga uniforme
), - esfera condutora com mesma carga.
O que precisamos usar é a Lei de Gauss, que diz:
Isso significa que, escolhendo uma superfície gaussiana (aqui, uma esfera de raio
), conseguimos achar o campo elétrico dependendo de quanto de carga está dentro dessa superfície.
Passo 2
(Esfera isolante,
)
- Primeiro, qual a carga envolvida pela esfera de raio
? - A densidade volumétrica é
. - O volume até
é .
Então
- A densidade volumétrica é
- Pela Lei de Gauss, escolhemos superfície de raio
, então - Conclusão: para
na esfera isolante
Passo 3
(Esfera isolante,
)
- Agora a superfície engloba toda a carga
. Logo
- Pela Gauss, em
:
- Conclusão: fora da esfera isolante
Passo 4
(Esfera condutora)
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga fica na superfície e o campo no interior é zero.
Num condutor em equilíbrio eletrostático, toda carga fica na superfície e o campo no interior é zero.
- Para
: - Para
: a carga total está toda “na casca”, então o campo fora é igual ao de um ponto:
Passo 5
(Gráfico de
vs.\
)
-
Esfera isolante:
- de
até : reta subindo ( ). - de
em diante: cai como .
- de
-
Esfera condutora:
-
para , - salta no
e segue caindo como .
Visualmente daria algo assim (eixo horizontal, vertical ):
isolante: /\ then curvas decrescentes
condutor: ____|‾‾‾ decrescente -
Resposta
Esfera isolante:
Esfera condutora: