Considere três cargas pontuais q1=+4 q, q2=-q e q3=-q localizadas, respectivamente, nos pontos cartesianos P1=(0,0), P2=(15,0) e P3=(0,15). Onde os pontos dos eixos x e y estão medidos em centímetros e q=2 mu C Determine:
  1. Determine o vetor campo elétrico e seu módulo no ponto P4=(15,15);
  2. Determine o Potencial Elétrico no ponto P4=(15,15);
  3. Qual o trabalho realizado para trazer uma partícula q4=+q de um ponto muito distante ao ponto P4
  4. Qual a força (vetor e módulo) atua na partícula q4 no ponto P4 ?
  5. Determine a energia potencial da configuração final das quatro cargas.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente lidar com três cargas pontuais:
  • q1=+4q, q2=-q e q3=-q, com q=2,mu C.
  • Elas estão em P1=(0,0), P2=(15,0) e P3=(0,15) em centímetros.
  • A gente quer tudo no ponto P4=(15,15) cm.
    As etapas envolvem:
  1. Campo elétrico vec E(P4) e seu módulo.
  2. Potencial elétrico V(P4).
  3. Trabalho pra trazer carga q4=+q do infinito até P4.
  4. Força em q4 no ponto P4 (vetor + módulo).
  5. Energia potencial final das quatro cargas.
O conteúdo é coulombiano: Lei de Coulomb, superposição de campo e potencial, trabalho e energia potencial de configurações de cargas. Vamos precisar de:
  • Conversão de cm para m ( 1,cm=0,01,m).
  • Constante k=8,99times10^9,N·m^2/C^2.
  • Fórmulas:
    • Campo de uma carga pontual: vec E=k,qr^2hat r.
    • Potencial: V=k,qr.
    • Trabalho para trazer q4: W=q4V(P4).
    • Força sobre q4: vec F=q4,vec E(P4).
    • Energia potencial total: soma de k,qiqj/rij em pares.

Passo 2

Campo elétrico no ponto P4=(0,15,0,15) m (convertendo 15 cm):
  1. Distâncias:
    r1=raiz(0,15)^2+(0,15)^2=0,2121,m,
    r2=0,15,m (de P2 a P4 verticalmente),
    r3=0,15,m (de P3 a P4 horizontalmente).
  2. Campo de cada carga (vetorial):
    – De q1=+8times10^-6,C em (0,0):
    E1=k,8times10^-6(0,2121)^2;hat r1 =1,598times10^6,NC;(0,707,0,707)
    ;Rightarrow;(1,13times10^6,,1,13times10^6),N/C.
    – De q2=-2times10^-6,C em (0,15,0): campo aponta pra carga
    E2=-k,2times10^-6(0,15)^2;hat y =-(7,99times10^5);hat y =;(0,,-7,99times10^5),N/C.
    – De q3=-2times10^-6,C em (0,0,15): campo aponta pra carga
    E3=-k,2times10^-6(0,15)^2;hat x =-(7,99times10^5);hat x =;(-7,99times10^5,,0),N/C.
  3. Soma vetorial:
    Ex=1,13times10^6-7,99times10^5=3,31times10^5 N/C,
    Ey=1,13times10^6-7,99times10^5=3,31times10^5 N/C.
    Então vec E(P4)=(3,31times10^5,,3,31times10^5);N/C
    4) Módulo:
    $$|\vec E|=\sqrt{(3{,}31\times10{5}){2}+(3{,}31\times10{5}){2}}=4{,}69\times10^{5};N/C.$$

Passo 3

Potencial escalar em P4 pela superposição:
V=sumi=1^3k,qiri
– De q1=8times10^-6,C:
V1=8,99times10^9cdot8times10^-60,2121 =3,39times10^5,V.
– De cada q2=q3=-2times10^-6,C em r=0,15,m:
V2=V3=-8,99times10^9cdot2times10^-60,15 =-1,20times10^5,V.
Somando:
$$V(P_{4})=3{,}39\times10{5}-1{,}20\times10{5}-1{,}20\times10^{5}
=9{,}95\times10^{4};V.$$

Passo 4

Trabalho para trazer q4=+2times10^-6,C do infinito até P4:
W=q4,V(P4) =2times10^-6times9,95times10^4 =1,99times10^-1;J =0,199;J

Passo 5

Força em q4 em P4:
vec F=q4,vec E(P4) =2times10^-6;(3,31times10^5,,3,31times10^5) =(0,662,,0,662);N
e o módulo
|vec F|=q4,|vec E| =2times10^-6times4,69times10^5 =9,38times10^-1;N =0,938;N

Passo 6

Energia potencial final das quatro cargas = soma de todos os pares i:
– Entre (1,2) e (1,3) dá cada U1i=-0,959,J, e (2,3) +0,170,J.
Total inicial (só 1,2,3): U123=-1,748,J.
– Interação de q4 com cada uma:
U14=+0,678,J, U24=U34=-0,240,J cada, total +0,199,J.
– Soma geral:
Utotal=-1,748+0,199=-1,549;J

Resposta

  1. vec E(P4)=(3,31times10^5,,3,31times10^5),N/C,
    |vec E|=4,69times10^5,N/C.
  2. V(P4)=9,95times10^4,V.
  3. W=0,199,J.
  4. vec F=(0,662,,0,662),N,
    |vec F|=0,938,N.
  5. Utotal=-1,549,J.

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