Considere um ângulo varphi(t) que varia com o tempo segundo a relação varphi(t)=8 t+de<a e uma função x(t) que depende desse ângulo x(t)=12 cos varphi onde t é dado em segundos, de<a é uma incógnita dada em radianos, e x é dado em centímetros. Suponha o intervalo de tempo entre t=0 e t=10 s. A) quais são as unidades das grandezas representadas pelos fatores numéricos 8 e 12 nas relações acima? B) quais são os valores máximo e mínimo da função x(t) nesse intervalo de tempo? C) calcule os possíveis valores de de<a sabendo que, no instante inicial, x(t=0)=0 D) determine o valor de de<a sabendo que, nesse instante (t=0), sen varphi é negativo.

Passo 1

O enunciado define um ângulo varphi(t) que varia com o tempo segundo
varphi(t) = 8,t + de<a,
e uma função
x(t) = 12 cosvarphi(t),
onde t está em segundos, de<a em radianos e x em centímetros. Queremos, no intervalo 0 <= t <= 10, determinar:
A) as unidades dos fatores numéricos 8 e 12;
B) os valores máximo e mínimo de x(t);
C) os valores possíveis de de<a sabendo que x(0)=0;
D) dentre esses valores, aquele que faz sinvarphi(0)<0.

Passo 2

Para A) analisamos unidades em cada relação. Em varphi(t)=8,t+de<a o termo 8,t deve ficar em radianos, e t está em segundos, logo
8 tem unidades de rad/s
Em x(t)=12cosvarphi, o cosseno é adimensional e x está em centímetros, logo
12 tem unidades de cm

Passo 3

Para B) usamos que cosvarphi varia entre -1 e 1. Como o coeficiente é 12, obtemos
xmax=12cdot1=12 cm, xmin=12cdot(-1)=-12 cm

Passo 4

Para C) impomos x(0)=0. Nesse instante varphi(0)=de<a, então
12cosde<a=0 Longrightarrow cosde<a=0 Longrightarrow de<a = pi2 + kpi, kinZ

Passo 5

Para D) queremos sinvarphi(0)=sinde<a<0. Calculamos sinl(tfracpi2+kpir)=(-1)^k. Esse é negativo quando k é ímpar, isto é
de<a = pi2 + (2m+1)pi = pi2 + pi + 2pi m = 3pi2 + 2pi m, minZ

Resposta

A) 8 em rad/s; 12 em cm.
B) xmax=12 cm e xmin=-12 cm.
C) de<a=pi2+kpi, kinZ
D) de<a=3pi2+2pi m, minZ

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