Questão 4 da lista
( 1,5 pt ) Mostre que o operador T: R^3 R^3 dado por T(x, y, z)=(x+y2, y+z2, z+x2) é um isomorfismo.

Passo 1

Nesse exercício, queremos mostrar que a transformação linear T:R^3toR^3 definida por T(x,y,z)=(x+tfrac y2,;y+tfrac z2,;z+tfrac x2) é um isomorfismo. O conteúdo envolve transformação linear e isomorfismo; vamos verificar linearidade e invertibilidade (determinante não nulo).

Passo 2

Primeiro, mostramos que T é linear. Cada componente de T(x,y,z) é combinação linear de x,y,z sem termo independente. Assim, para quaisquer v,winR^3 e escalar alpha, vale T(v+w)=T(v)+T(w) e T(alpha v)=alpha T(v).

Passo 3

Agora, montamos a matriz A de T na base canônica. Observando as imagens dos vetores canônicos, obtemos
A= 1 & tfrac12 & 0 0 & 1 & tfrac12 tfrac12 & 0 & 1

Passo 4

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A)=1cdotdet1 & tfrac120 & 1-tfrac12cdotdet0 & tfrac12tfrac12 & 1

Passo 5

O primeiro menor é 1cdot1-(tfrac12)cdot0=1 e o segundo é 0cdot1-(tfrac12)cdot(tfrac12)=-tfrac14. Logo:
det(A)=1-tfrac12(-tfrac14)=1+tfrac18=tfrac98neq0

Passo 6

Como A é invertível (determinante não zero), T é bijetiva e, sendo linear entre espaços de mesma dimensão, concluímos que T é um isomorfismo.

Resposta

Como det(A)=tfrac98neq0, a transformação T é invertível e, por ser linear de R^3 em R^3, é um isomorfismo.

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