Questão 4 da lista
( ) Mostre que o operador dado é um isomorfismo.
Passo 1
Nesse exercício, queremos mostrar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. O conteúdo envolve transformação linear e isomorfismo; vamos verificar linearidade e invertibilidade (determinante não nulo).
Passo 2
Primeiro, mostramos que é linear. Cada componente de é combinação linear de sem termo independente. Assim, para quaisquer e escalar , vale e .
Passo 3
Agora, montamos a matriz de na base canônica. Observando as imagens dos vetores canônicos, obtemos