Considere a aplicação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T\left(\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-2 y \\\ x+y-3 z \\\\ 2 x-z\end{array}\right)
(a) Prove que T é uma transformação \mathbb{R}-linear.
(b) Determine todos os autovalores de T.
(c) Determine todos os autoespaços de T.
(d) Determine \operatorname{Ker}(T) e sua dimensão.
(e) T é injetora?
(f) T é sobrejetora?
(g) T é um isomorfismo?
(h) Determine a matriz associada a T com respeito a base
B=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 0 \end{array}\right)\right\} .
(i) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{B}.
(j) Determine todos os autoespaços [T]_{B}.

Passo 1

Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que pede (cada item que preciso responder). A aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é dada por
T\!\left(\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right)=\begin{pmatrix}x-2y\\[4pt] x+y-3z\\[4pt] 2x-z\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Provar que T é \mathbb{R}-linear (ou seja, linear sobre os reais).
(b) Determinar todos os autovalores (autovalores = valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v).
(c) Determinar todos os autoespaços (o autoespaço associado a \lambda é \ker(T-\lambda I)).
(d) Determinar \ker(T) e sua dimensão.
(e) T é injetora?
(f) T é sobrejetora?
(g) T é um isomorfismo?
(h) Determinar a matriz de T em relação à base
B=\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}\right\}.
(i) Determinar todos os autovalores da matriz [T]_B.
(j) Determinar todos os autoespaços de [T]_B.
Nada daqui exige que eu pergunte mais nada; vou resolver passo a passo.]

Passo 2

(a) Definição e prova de linearidade. Relembrando (curta aula): uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(cu)=cT(u).
Irei provar isso diretamente. Tome u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Aplicando T e usando a definição:
T(u+v)=\begin{pmatrix} (x_1+x_2)-2(y_1+y_2)\\[4pt] (x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2)\\[4pt] 2(x_1+x_2)-(z_1+z_2) \end{pmatrix}.
Agrupando termos, isso é
\begin{pmatrix} (x_1-2y_1)+(x_2-2y_2)\\[4pt] (x_1+y_1-3z_1)+(x_2+y_2-3z_2)\\[4pt] (2x_1-z_1)+(2x_2-z_2) \end{pmatrix} = T(u)+T(v).
Para homogeneidade, tome c\in\mathbb{R}. Então
T(cu)=T(cx_1,cy_1,cz_1)=\begin{pmatrix} cx_1-2cy_1\\[4pt] cx_1+cy_1-3cz_1\\[4pt] 2cx_1-cz_1 \end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}x_1-2y_1\\[4pt] x_1+y_1-3z_1\\[4pt] 2x_1-z_1\end{pmatrix} = cT(u).
Portanto T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.]

Passo 3

(b) e preparação para (c),(d),(e),(f),(g): matriz de T na base canônica e polinômio característico. É útil escrever T como matriz na base canônica E=\{e_1,e_2,e_3\} ( e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)). Calcule T(e_1),T(e_2),T(e_3):
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,1,2),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(-2,1,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,-3,-1).
A matriz A de T na base canônica tem essas imagens como colunas:
A=[T]_{E}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -3\\[4pt] 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Para achar autovalores resolvemos \det(A-\lambda I)=0. Calcule A-\lambda I e o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & 0\\[4pt] 1 & 1-\lambda & -3\\[4pt] 2 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante pela primeira linha:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & -3\\[2pt] 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[2pt] 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule as menores:
(1-\lambda)\big((1-\lambda)(-1-\lambda)-0\big)+2\big(1(-1-\lambda)-(-3)\cdot 2\big).
Simplificando:
(1-\lambda)^2(-1-\lambda)+2( -1-\lambda+6).
Isto se reduz a (após expandir)
-\lambda^3+\lambda^2-\lambda+9.
Multiplicando por -1 para obter o polinômio monico usual, o polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2+\lambda-9.
Os autovalores são as raízes de \chi_A(\lambda)=0.]

Passo 4

(b) (continuação) Determinar numericamente as raízes do polinômio \lambda^3-\lambda^2+\lambda-9=0. Observações úteis: o produto dos autovalores é \det(A)=9 (coeficiente constante com sinal), e a soma é \operatorname{tr}(A)=1. Testando raízes inteiras óbvias ( \pm1,\pm3,\pm9) não obtemos zeros, logo não há raízes racionais simples. O polinômio tem exatamente uma raiz real (pois o sinal do polinômio muda entre \lambda=2 e \lambda=3) e duas raízes complexas conjugadas (coeficientes reais). Usando um método numérico (bissecção/Newton) obtém-se a raiz real aproximada
\lambda_1\approx 2{,}285.
As duas outras raízes são complexas conjugadas; usando relações de Viète (soma e produto) e resolução do quadrático residual, obtemos as outras duas raízes aproximadamente
\lambda_{2}\approx -0{,}6425+1{,}8785\,i,\qquad \lambda_{3}\approx -0{,}6425-1{,}8785\,i.
(Estes valores satisfazem \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 e \lambda_1\lambda_2\lambda_3=9.)

Passo 5

(c) Autoespaços de T. Definição curta (aula): o autoespaço associado a \lambda é
E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^3:\;T(v)=\lambda v\}.
  • Para autovalores complexos não reais \lambda_2,\lambda_3 não existem vetores próprios não-nulos em \mathbb{R}^3 (pois se existissem, teríamos um vetor real com imagem igual a um múltiplo complexo — impossível salvo vetor zero). Logo, sobre \mathbb{R}, os autoespaços associados a \lambda_2,\lambda_3 são triviais: E_{\lambda_2}=\{0\} e E_{\lambda_3}=\{0\}. (Se trabalhássemos sobre \mathbb{C}, cada um teria dimensão 1.)
  • Para a raiz real \lambda_1\approx 2{,}285 o autoespaço é \ker(A-\lambda_1 I), que tem dimensão 1 (cubic com multiplicidade 1 da raiz real, típico caso). Vou dar uma forma explícita de um gerador: seja \lambda uma raiz do polinômio (qualquer raiz, mas aqui tomamos a real). Resolvendo simbolicamente o sistema (A-\lambda I)(x,y,z)^T=0 obtém-se, da primeira equação,
(1-\lambda)x-2y=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{1-\lambda}\,y.
Substituindo nas demais equações e simplificando, uma escolha conveniente de parâmetro é y=3(1-\lambda) (esta escolha elimina denominadores). Com essa escolha obtemos um vetor próprio não-nulo (dependendo de \lambda):
v(\lambda)=\begin{pmatrix}6\\[4pt] 3(1-\lambda)\\[4pt] 2+(1-\lambda)^2\end{pmatrix},
que satisfaz (A-\lambda I)v(\lambda)=0 sempre que \lambda é raiz do polinômio característico. Para a raiz real \lambda_1 isto dá um gerador real do autoespaço E_{\lambda_1}. Assim:
E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt] 3(1-\lambda_1)\\[4pt] 2+(1-\lambda_1)^2\end{pmatrix}\right\},
com \lambda_1\approx 2{,}285, logo numericamente um autovetor real (escalado) é, por exemplo,
v_1\approx\begin{pmatrix}-1{,}556\\[4pt] 1\\[4pt] -0{,}947\end{pmatrix}
(qualquer múltiplo não-nulo serve). Portanto sobre \mathbb{R} há exatamente um autoespaço não-trivial, de dimensão 1, associado à \lambda_1.]

Passo 6

(d) Núcleo \ker(T) e dimensão. Lembrando que \ker(T)=\ker(A) e que 0 é autovalor se e somente se \det(A)=0. Calculamos antes \det(A)=9 (ver passo do polinômio característico com \lambda=0: \chi_A(0)= -0+0-0+9=9). Como \det(A)=9\neq 0, temos \ker(A)=\{0\}. Portanto
\ker(T)=\{0\},\qquad \dim\ker(T)=0.

Passo 7

(e),(f),(g) Injetividade, sobrejetividade, isomorfismo. Para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita vale: T é injetora \iff \ker(T)=\{0\} \iff \det(A)\neq0 \iff T é sobrejetora \iff T é um isomorfismo). Como já vimos \ker(T)=\{0\} e \det(A)=9\neq0, concluímos:
  • T é injetora: sim.
  • T é sobrejetora: sim.
  • T é um isomorfismo (bijetora linear): sim.

Passo 8

(h) Matriz de T em relação à base B. Lembrete: as colunas de [T]_B são as coordenadas dos vetores T(b_j) escritas na base B. As vetores da base B são
b_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad b_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad b_3=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Calcule T(b_j) na base canônica (já fizemos partes antes):
T(b_1)=T(1,0,0)=(1,1,2),
T(b_2)=T(1,0,1)=T(e_1+e_3)=T(e_1)+T(e_3)=(1,1,2)+(0,-3,-1)=(1,-2,1),
T(b_3)=T(1,2,0)=T(e_1+2e_2)=(1,1,2)+2(-2,1,0)=(-3,3,2).
Agora escrevemos cada T(b_j) como combinação linear de b_1,b_2,b_3. Se \alpha,\beta,\gamma são coeficientes, então
\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3=(\alpha+\beta+\gamma,\;2\gamma,\;\beta)
(em coordenadas canônicas). Igualando com as imagens:
  • Para T(b_1)=(1,1,2) resolvemos
\alpha+\beta+\gamma=1,\quad 2\gamma=1,\quad \beta=2.
Isto dá \gamma=\tfrac12, \beta=2, \alpha=1-2-\tfrac12=-\tfrac32. Logo a primeira coluna de [T]_B é \big(-\tfrac32,\;2,\;\tfrac12\big)^T.
  • Para T(b_2)=(1,-2,1) resolvemos
\alpha+\beta+\gamma=1,\quad 2\gamma=-2,\quad \beta=1,
dando \gamma=-1,\\ \beta=1,\\ \alpha=1-1+1=1. Segunda coluna: (1,1,-1)^T.
  • Para T(b_3)=(-3,3,2) resolvemos
\alpha+\beta+\gamma=-3,\quad 2\gamma=3,\quad \beta=2,
dando \gamma=\tfrac32,\\ \beta=2,\\ \alpha=-3-2-\tfrac32=-\tfrac{13}{2}. Terceira coluna: \big(-\tfrac{13}{2},\;2,\;\tfrac{3}{2}\big)^T.
Portanto a matriz de T na base B é
[T]_B=\begin{pmatrix} -\tfrac32 & 1 & -\tfrac{13}{2}\\[6pt] 2 & 1 & 2\\[6pt] \tfrac12 & -1 & \tfrac32 \end{pmatrix},
com as colunas na ordem b_1,b_2,b_3.]

Passo 9

(i) Autovalores de [T]_B. Observação importante (teoria): matrizes que representam a mesma aplicação linear em bases diferentes são semelhantes; matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com mesmas multiplicidades. Logo os autovalores de [T]_B são exatamente os autovalores de A=[T]_E calculados no Passo 4. Assim:
\text{autovalores de }[T]_B=\{\; \lambda_1\approx 2{,}285,\;\lambda_{2}\approx -0{,}6425+1{,}8785\,i,\;\lambda_{3}\approx -0{,}6425-1{,}8785\,i\;\}.

Passo 10

(j) Autoespaços de [T]_B. Também por teoria: se P é a matriz de mudança de base tal que [T]_B = P^{-1}AP, então vetores próprios de A e seus vetores de coordenadas na base B estão ligados por [v]_B = P^{-1}v. Em particular, as dimensões dos autoespaços são preservadas pela similaridade, e os autoespaços correspondentes são isomorfos via a transformação de mudança de base. Conclusões práticas:
  • Sobre \mathbb{R}: como em (c), apenas a raiz real \lambda_1 tem autoespaço real não-trivial. O autoespaço de [T]_B associado a \lambda_1 é um subespaço unidimensional formado pelos vetores de coordenadas [v]_B onde v é autovetor real de A. Por exemplo, se v_1 é o autovetor real aproximado dado no Passo 5, então
[v_1]_B = P^{-1}v_1
é um gerador das coordenadas do autoespaço em relação a B. Já calculei a inversa de P (onde P tem colunas b_1,b_2,b_3) e obtive explicitamente
P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac12 & 0 \end{pmatrix}.
Aplicando a v(\lambda) simbólico do Passo 5 (o autovetor em termos de \lambda):
v(\lambda)=\begin{pmatrix}6\\[4pt] 3(1-\lambda)\\[4pt] 2+(1-\lambda)^2\end{pmatrix},
obtemos as coordenadas em B (multiplicando por P^{-1}):
[v(\lambda)]_B= \begin{pmatrix} 4-\tfrac{3}{2}(1-\lambda)-(1-\lambda)^2\\[6pt] 2+(1-\lambda)^2\\[6pt] \tfrac{3}{2}(1-\lambda) \end{pmatrix}.
Para \lambda=\lambda_1\approx2{,}285, numericamente
[v(\lambda_1)]_B\approx\begin{pmatrix}4{,}277\\[4pt] 3{,}651\\[4pt] -1{,}928\end{pmatrix},
que gera o autoespaço de [T]_B sobre \mathbb{R}.
  • Sobre \mathbb{C}: cada autovalor complexo \lambda_2,\lambda_3 tem autoespaço complexo unidimensional tanto para A quanto para [T]_B; os vetores próprios complexos se correspondem pelas mesmas fórmulas de mudança de base.
Em suma: os autoespaços de [T]_B correspondem exatamente, via mudança de base, aos autoespaços de T (dimensão 1 para \lambda_1 sobre \mathbb{R} e dimensão 0 sobre \mathbb{R} para as raízes complexas; sobre \mathbb{C}, três autoespaços unidimensionais).]

Resposta

(a) T é linear (ver prova: preserva soma e multiplicação por escalar).
(b) Autovalores: raízes de \lambda^3-\lambda^2+\lambda-9=0; numericamente \lambda_1\approx 2{,}285, \lambda_{2}\approx -0{,}6425+1{,}8785\,i, \lambda_{3}\approx -0{,}6425-1{,}8785\,i.
(c) Autoespaços sobre \mathbb{R}: E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]3(1-\lambda_1)\\[4pt]2+(1-\lambda_1)^2\end{pmatrix}\right\} com \lambda_1\approx2{,}285 (dimensão 1); para \lambda_2,\lambda_3 (não reais) os autoespaços sobre \mathbb{R} são \{0\} (sobre \mathbb{C} seriam 1-dim cada).
(d) \ker(T)=\{0\}, \dim\ker(T)=0.
(e) T é injetora: sim.
(f) T é sobrejetora: sim.
(g) T é um isomorfismo: sim (determinante 9\neq0).
(h) Matriz em B:
[T]_B=\begin{pmatrix} -\tfrac32 & 1 & -\tfrac{13}{2}\\[6pt] 2 & 1 & 2\\[6pt] \tfrac12 & -1 & \tfrac32 \end{pmatrix}.
(i) Autovalores de [T]_B: mesmos que em (b), i.e. \lambda_1\approx2{,}285 e \lambda_{2,3}\approx -0{,}6425\pm1{,}8785\,i.
(j) Autoespaços de [T]_B: correspondem, via mudança de base, aos autoespaços de T. Em particular, sobre \mathbb{R} há um autoespaço real não-trivial unidimensional para \lambda_1 (ex.: gerador em coordenadas B aproximado por \begin{pmatrix}4{,}277\\[4pt]3{,}651\\[4pt]-1{,}928\end{pmatrix}); para \lambda_2,\lambda_3 os autoespaços reais são \{0\} (sobre \mathbb{C} seriam cada um 1-dim).]

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