Considere a aplicação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T\left(\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x-2 y \\\ x+y-3 z \\\\ 2 x-z\end{array}\right)
(a) Prove que T é uma transformação \mathbb{R}-linear.
(b) Determine todos os autovalores de T.
(c) Determine todos os autoespaços de T.
(d) Determine \operatorname{Ker}(T) e sua dimensão.
(e) T é injetora?
(f) T é sobrejetora?
(g) T é um isomorfismo?
(h) Determine a matriz associada a T com respeito a base
(i) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{B}.
(j) Determine todos os autoespaços [T]_{B}.
Passo 1
Vou listar cuidadosamente o que o enunciado dá e o que pede (cada item que preciso responder). A aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é dada por
As perguntas são:
(a) Provar que T é \mathbb{R}-linear (ou seja, linear sobre os reais).
(b) Determinar todos os autovalores (autovalores = valores \lambda tais que existe vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v).
(c) Determinar todos os autoespaços (o autoespaço associado a \lambda é \ker(T-\lambda I)).
(d) Determinar \ker(T) e sua dimensão.
(e) T é injetora?
(f) T é sobrejetora?
(g) T é um isomorfismo?
(h) Determinar a matriz de T em relação à base
(i) Determinar todos os autovalores da matriz [T]_B.
(j) Determinar todos os autoespaços de [T]_B.
Nada daqui exige que eu pergunte mais nada; vou resolver passo a passo.]
Passo 2
(a) Definição e prova de linearidade. Relembrando (curta aula): uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(cu)=cT(u).
Irei provar isso diretamente. Tome u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
Portanto T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.]
Passo 3
(b) e preparação para (c),(d),(e),(f),(g): matriz de T na base canônica e polinômio característico. É útil escrever T como matriz na base canônica E=\{e_1,e_2,e_3\} (e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)). Calcule T(e_1),T(e_2),T(e_3):
Multiplicando por -1 para obter o polinômio monico usual, o polinômio característico é
\chi_A(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2+\lambda-9.
Os autovalores são as raízes de \chi_A(\lambda)=0.]
Passo 4
(b) (continuação) Determinar numericamente as raízes do polinômio \lambda^3-\lambda^2+\lambda-9=0. Observações úteis: o produto dos autovalores é \det(A)=9 (coeficiente constante com sinal), e a soma é \operatorname{tr}(A)=1. Testando raízes inteiras óbvias (\pm1,\pm3,\pm9) não obtemos zeros, logo não há raízes racionais simples. O polinômio tem exatamente uma raiz real (pois o sinal do polinômio muda entre \lambda=2 e \lambda=3) e duas raízes complexas conjugadas (coeficientes reais). Usando um método numérico (bissecção/Newton) obtém-se a raiz real aproximada
\lambda_1\approx 2{,}285.
As duas outras raízes são complexas conjugadas; usando relações de Viète (soma e produto) e resolução do quadrático residual, obtemos as outras duas raízes aproximadamente
Para autovalores complexos não reais \lambda_2,\lambda_3 não existem vetores próprios não-nulos em \mathbb{R}^3 (pois se existissem, teríamos um vetor real com imagem igual a um múltiplo complexo — impossível salvo vetor zero). Logo, sobre \mathbb{R}, os autoespaços associados a \lambda_2,\lambda_3 são triviais: E_{\lambda_2}=\{0\} e E_{\lambda_3}=\{0\}. (Se trabalhássemos sobre \mathbb{C}, cada um teria dimensão 1.)
Para a raiz real \lambda_1\approx 2{,}285 o autoespaço é \ker(A-\lambda_1 I), que tem dimensão 1 (cubic com multiplicidade 1 da raiz real, típico caso). Vou dar uma forma explícita de um gerador: seja \lambda uma raiz do polinômio (qualquer raiz, mas aqui tomamos a real). Resolvendo simbolicamente o sistema (A-\lambda I)(x,y,z)^T=0 obtém-se, da primeira equação,
Substituindo nas demais equações e simplificando, uma escolha conveniente de parâmetro é y=3(1-\lambda) (esta escolha elimina denominadores). Com essa escolha obtemos um vetor próprio não-nulo (dependendo de \lambda):
que satisfaz (A-\lambda I)v(\lambda)=0 sempre que \lambda é raiz do polinômio característico. Para a raiz real \lambda_1 isto dá um gerador real do autoespaço E_{\lambda_1}. Assim:
(qualquer múltiplo não-nulo serve). Portanto sobre \mathbb{R} há exatamente um autoespaço não-trivial, de dimensão 1, associado à \lambda_1.]
Passo 6
(d) Núcleo \ker(T) e dimensão. Lembrando que \ker(T)=\ker(A) e que 0 é autovalor se e somente se \det(A)=0. Calculamos antes \det(A)=9 (ver passo do polinômio característico com \lambda=0: \chi_A(0)= -0+0-0+9=9). Como \det(A)=9\neq 0, temos \ker(A)=\{0\}. Portanto
\ker(T)=\{0\},\qquad \dim\ker(T)=0.
Passo 7
(e),(f),(g) Injetividade, sobrejetividade, isomorfismo. Para transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita vale: T é injetora \iff\ker(T)=\{0\}\iff\det(A)\neq0\iffT é sobrejetora \iffT é um isomorfismo). Como já vimos \ker(T)=\{0\} e \det(A)=9\neq0, concluímos:
T é injetora: sim.
T é sobrejetora: sim.
T é um isomorfismo (bijetora linear): sim.
Passo 8
(h) Matriz de T em relação à base B. Lembrete: as colunas de [T]_B são as coordenadas dos vetores T(b_j) escritas na base B. As vetores da base B são
(i) Autovalores de [T]_B. Observação importante (teoria): matrizes que representam a mesma aplicação linear em bases diferentes são semelhantes; matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com mesmas multiplicidades. Logo os autovalores de [T]_B são exatamente os autovalores de A=[T]_E calculados no Passo 4. Assim:
\text{autovalores de }[T]_B=\{\; \lambda_1\approx 2{,}285,\;\lambda_{2}\approx -0{,}6425+1{,}8785\,i,\;\lambda_{3}\approx -0{,}6425-1{,}8785\,i\;\}.
Passo 10
(j) Autoespaços de [T]_B. Também por teoria: se P é a matriz de mudança de base tal que [T]_B = P^{-1}AP, então vetores próprios de A e seus vetores de coordenadas na base B estão ligados por [v]_B = P^{-1}v. Em particular, as dimensões dos autoespaços são preservadas pela similaridade, e os autoespaços correspondentes são isomorfos via a transformação de mudança de base. Conclusões práticas:
Sobre \mathbb{R}: como em (c), apenas a raiz real \lambda_1 tem autoespaço real não-trivial. O autoespaço de [T]_B associado a \lambda_1 é um subespaço unidimensional formado pelos vetores de coordenadas [v]_B onde v é autovetor real de A. Por exemplo, se v_1 é o autovetor real aproximado dado no Passo 5, então
[v_1]_B = P^{-1}v_1
é um gerador das coordenadas do autoespaço em relação a B. Já calculei a inversa de P (onde P tem colunas b_1,b_2,b_3) e obtive explicitamente
Sobre \mathbb{C}: cada autovalor complexo \lambda_2,\lambda_3 tem autoespaço complexo unidimensional tanto para A quanto para [T]_B; os vetores próprios complexos se correspondem pelas mesmas fórmulas de mudança de base.
Em suma: os autoespaços de [T]_B correspondem exatamente, via mudança de base, aos autoespaços de T (dimensão 1 para \lambda_1 sobre \mathbb{R} e dimensão 0 sobre \mathbb{R} para as raízes complexas; sobre \mathbb{C}, três autoespaços unidimensionais).]
Resposta
(a) T é linear (ver prova: preserva soma e multiplicação por escalar).
(b) Autovalores: raízes de \lambda^3-\lambda^2+\lambda-9=0; numericamente \lambda_1\approx 2{,}285, \lambda_{2}\approx -0{,}6425+1{,}8785\,i, \lambda_{3}\approx -0{,}6425-1{,}8785\,i.
(c) Autoespaços sobre \mathbb{R}: E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]3(1-\lambda_1)\\[4pt]2+(1-\lambda_1)^2\end{pmatrix}\right\} com \lambda_1\approx2{,}285 (dimensão 1); para \lambda_2,\lambda_3 (não reais) os autoespaços sobre \mathbb{R} são \{0\} (sobre \mathbb{C} seriam 1-dim cada).
(d) \ker(T)=\{0\}, \dim\ker(T)=0.
(e) T é injetora: sim.
(f) T é sobrejetora: sim.
(g) T é um isomorfismo: sim (determinante 9\neq0).
(h) Matriz em B:
(i) Autovalores de [T]_B: mesmos que em (b), i.e. \lambda_1\approx2{,}285 e \lambda_{2,3}\approx -0{,}6425\pm1{,}8785\,i.
(j) Autoespaços de [T]_B: correspondem, via mudança de base, aos autoespaços de T. Em particular, sobre \mathbb{R} há um autoespaço real não-trivial unidimensional para \lambda_1 (ex.: gerador em coordenadas B aproximado por \begin{pmatrix}4{,}277\\[4pt]3{,}651\\[4pt]-1{,}928\end{pmatrix}); para \lambda_2,\lambda_3 os autoespaços reais são \{0\} (sobre \mathbb{C} seriam cada um 1-dim).]