Considere a aplicação T: P_{2}[\mathbb{C}] \rightarrow P_{2}[\mathbb{C}] dada por T(p(x))=p(2 x-1)
(a) Prove que T é uma transformação \mathbb{C}-linear.
(b) Determine a matriz associada a T com respeito a base
C=\left\{1,2+x, x+x^{2}\right\} .
(c) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{C}.
(d) Determine todos os autoespaços [T]_{C}.
(e) Quais são os autovalores de T ?
(f) Determine todos os autoespaços de T.
(g) Determine \operatorname{Ker}(T) e sua dimensão.
(h) T é injetora?
(i) T é sobrejetora?
(j) T é um isomorfismo?
(k) Determine a matriz associada a T com respeito à base B=\left\{1, x, x^{2}\right\}.
(l) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{B}.
(m) Determine todos os autoespaços [T]_{B}.
(n) Calcular T\left(3+2 x-x^{2}\right).
Passo 1
Lista clara do que o enunciado fornece e pede.
Dado: a aplicação T: P_{2}[\mathbb{C}]\to P_{2}[\mathbb{C}] definida por \,T(p(x))=p(2x-1).
Bases dadas:
C=\{\,1,\;2+x,\;x+x^{2}\,\}.
B=\{\,1,\;x,\;x^{2}\,\}.
Perguntas (a)–(n): provar linearidade; encontrar matrizes de T nas bases C e B; autovalores e autoespaços das matrizes e de T; \ker(T) e sua dimensão; injetividade, sobrejetividade e se é isomorfismo; calcular T(3+2x-x^{2}).
Passo 2
(a) Provar que T é \mathbb{C}-linear.
Explicação da definição de linearidade: uma transformação linear T satisfaz, para quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{C} e quaisquer polinômios p,q\in P_{2}[\mathbb{C}],
As equações implicam 3x_{3}=0\Rightarrow x_{3}=0; então x_{2}=0; x_{1} livre. Logo vetores próprios em coordenadas são x_{1}(1,0,0). Assim o autoespaço (em coordenadas) é \operatorname{span}\{(1,0,0)\}. Em termos de polinômios (voltando da base C para polinômio): o vetor coordenado (1,0,0) corresponde a 1. Portanto o autoespaço associado a \lambda=1 é
\operatorname{span}\{1\}.
Para \lambda=2: A-2I=\begin{pmatrix}-1 & -3 & 12\\[4pt]0 & 0 & -6\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
Dessas equações vem 2x_{3}=0\Rightarrow x_{3}=0. Então da segunda linha -6x_{3}=0 é satisfeita; da primeira linha -x_{1}-3x_{2}=0\Rightarrow x_{1}=-3x_{2}. Logo vetores próprios têm a forma x_{2}(-3,1,0). Em polinômios, (-3,1,0) em base C representa
-3\cdot 1 +1\cdot(2+x) = -3+2+x = x-1.
Portanto o autoespaço para \lambda=2 é
\operatorname{span}\{\,x-1\,\}.
Para \lambda=4: A-4I=\begin{pmatrix}-3 & -3 & 12\\[4pt]0 & -2 & -6\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha -2x_{2}-6x_{3}=0\Rightarrow x_{2}=-3x_{3}. Da primeira linha -3x_{1}-3x_{2}+12x_{3}=0 que reduz a x_{1}=7x_{3}. Portanto vetores próprios são x_{3}(7,-3,1). Em polinômios, (7,-3,1) em base C representa
Observação: todos os autoespaços têm dimensão 1 porque os autovalores são distintos.]
Passo 8
(e) Quais são os autovalores de T?
Explicação: os autovalores de uma transformação linear são independentes da base escolhida; qualquer matriz representação terá os mesmos autovalores (contando multiplicidade). Portanto os autovalores de T são os mesmos listados acima:
1,\;2,\;4.
Passo 9
(f) Determinar todos os autoespaços de T.
Como os autoespaços em termos dos polinômios não dependem da base, já os obtivemos no Passo 7. Assim os autoespaços de T são:
Se p\in\ker(T) então p(2x-1)=0 para todo x\in\mathbb{C}. Fazendo a mudança de variável y=2x-1 (mapeamento afim bijetivo de \mathbb{C} em \mathbb{C}), obtemos p(y)=0 para todo y\in\mathbb{C}. Logo p é o polinômio zero. Assim
\ker(T)=\{0\}
e \dim(\ker(T))=0.
Passo 11
(h), (i), (j) Injetividade, sobrejetividade e se T é um isomorfismo.
Injetividade: \ker(T)=\{0\} implica que T é injetora. Logo resposta: sim, T é injetora.
Sobrejetividade: em espaços vetoriais de dimensão finita, para um endomorfismo linear injetivo implica ser sobrejetivo. Alternativamente, existe inversa explícita: a aplicação S:P_{2}[\mathbb{C}]\to P_{2}[\mathbb{C}] dada por S(q)(x)=q\bigl((x+1)/2\bigr) satisfaz S\circ T=\operatorname{Id} e T\circ S=\operatorname{Id}. Assim T é sobrejetora.
Isomorfismo: como T é linear, injetora e sobrejetora, T é um isomorfismo.
Passo 12
(k) Determinar a matriz de T na base B=\{1,x,x^{2}\}.
Calcular imagens e coordenadas na base B.
T(1)=1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B}.
T(x)=2x-1 tem coordenadas \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}_{B} (constante -1, coef de x é 2).
T(x^{2})=(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 4\end{pmatrix}_{B}.
(b) [T]_{C}=\begin{pmatrix}1 & -3 & 12\\[4pt]0 & 2 & -6\\[4pt]0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
(c) Autovalores de [T]_{C}: 1,\;2,\;4.
(d) Autoespaços de [T]_{C}: \operatorname{span}\{1\},\;\operatorname{span}\{x-1\},\;\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
(e) Autovalores de T: 1,\;2,\;4.
(f) Autoespaços de T: \operatorname{span}\{1\},\;\operatorname{span}\{x-1\},\;\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
(g) \ker(T)=\{0\}, \dim(\ker(T))=0.
(h) T é injetora: sim.
(i) T é sobrejetora: sim.
(j) T é um isomorfismo: sim.