Considere a aplicação T: P_{2}[\mathbb{C}] \rightarrow P_{2}[\mathbb{C}] dada por T(p(x))=p(2 x-1)
(a) Prove que T é uma transformação \mathbb{C}-linear.
(b) Determine a matriz associada a T com respeito a base
C=\left\{1,2+x, x+x^{2}\right\} .
(c) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{C}.
(d) Determine todos os autoespaços [T]_{C}.
(e) Quais são os autovalores de T ?
(f) Determine todos os autoespaços de T.
(g) Determine \operatorname{Ker}(T) e sua dimensão.
(h) T é injetora?
(i) T é sobrejetora?
(j) T é um isomorfismo?
(k) Determine a matriz associada a T com respeito à base B=\left\{1, x, x^{2}\right\}.
(l) Determine todos os autovalores da matriz [T]_{B}.
(m) Determine todos os autoespaços [T]_{B}.
(n) Calcular T\left(3+2 x-x^{2}\right).

Passo 1

Lista clara do que o enunciado fornece e pede.
  • Dado: a aplicação T: P_{2}[\mathbb{C}]\to P_{2}[\mathbb{C}] definida por \,T(p(x))=p(2x-1).
  • Bases dadas:
    • C=\{\,1,\;2+x,\;x+x^{2}\,\}.
    • B=\{\,1,\;x,\;x^{2}\,\}.
  • Perguntas (a)–(n): provar linearidade; encontrar matrizes de T nas bases C e B; autovalores e autoespaços das matrizes e de T; \ker(T) e sua dimensão; injetividade, sobrejetividade e se é isomorfismo; calcular T(3+2x-x^{2}).

Passo 2

(a) Provar que T é \mathbb{C}-linear.
Explicação da definição de linearidade: uma transformação linear T satisfaz, para quaisquer escalares \alpha,\beta\in\mathbb{C} e quaisquer polinômios p,q\in P_{2}[\mathbb{C}],
T(\alpha p+\beta q)=\alpha T(p)+\beta T(q).
Verificação direta usando substituição:
T(\alpha p+\beta q)(x)=(\alpha p+\beta q)(2x-1)=\alpha p(2x-1)+\beta q(2x-1)=\alpha T(p)(x)+\beta T(q)(x).
Como a igualdade é válida para todo x, obtemos
T(\alpha p+\beta q)=\alpha T(p)+\beta T(q).
Portanto T é linear sobre \mathbb{C}.

Passo 3

(b) e preparatório: calcular as imagens dos vetores da base C.
Escrevendo os vetores de C:
v_{1}=1,\qquad v_{2}=2+x,\qquad v_{3}=x+x^{2}.
Calcular T(v_{1}),T(v_{2}),T(v_{3}) fazendo a substituição x\mapsto 2x-1.
  • T(v_{1})=T(1)=1 (constante preservada).
  • T(v_{2})=T(2+x)=2+(2x-1)=1+2x.
  • T(v_{3})=T(x+x^{2})=(2x-1)+(2x-1)^{2}=(2x-1)+(4x^{2}-4x+1)=4x^{2}-2x.

Passo 4

(b) Expressar T(v_{1}),T(v_{2}),T(v_{3}) na base C: escrever cada imagem como combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}.
Escrevemos uma combinação genérica:
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}=a_{1}+2a_{2}+(a_{2}+a_{3})x+a_{3}x^{2}.
  1. Para T(v_{1})=1 igualar coeficientes:
a_{1}+2a_{2}=1,\qquad a_{2}+a_{3}=0,\qquad a_{3}=0.
Da terceira equação a_{3}=0. Então a_{2}=0 e a_{1}=1. Logo as coordenadas de T(v_{1}) em C são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para T(v_{2})=1+2x:
a_{1}+2a_{2}=1,\qquad a_{2}+a_{3}=2,\qquad a_{3}=0.
Da terceira a_{3}=0. Então a_{2}=2 e a_{1}=1-2\cdot2= -3. Coordenadas: \begin{pmatrix}-3\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para T(v_{3})=4x^{2}-2x:
a_{1}+2a_{2}=0,\qquad a_{2}+a_{3}=-2,\qquad a_{3}=4.
Da terceira a_{3}=4. Então a_{2}=-2-4=-6. E a_{1}= -2a_{2}= -2(-6)=12. Coordenadas: \begin{pmatrix}12\\\ -6\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 5

(b) Montar a matriz [T]_{C}: as colunas são as coordenadas de T(v_{1}),T(v_{2}),T(v_{3}) na base C. Assim
[T]_{C}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 12\\[4pt] 0 & 2 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Comentário didático: a matriz ficou triangular superior; as entradas da diagonal aparecem já como 1,2,4.]

Passo 6

(c) Determinar todos os autovalores de [T]_{C}.
Fato útil: para uma matriz triangular superior, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Assim os autovalores de [T]_{C} são
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=2,\qquad \lambda_{3}=4.

Passo 7

(d) Determinar todos os autoespaços de [T]_{C}.
Método lembrando: o autoespaço relativo a \lambda é \ker([T]_{C}-\lambda I). Resolveremos para cada \lambda.
  1. Para \lambda=1: resolver (A-I)v=0 com
A-I=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 12\\[4pt] 0 & 1 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
As equações implicam 3x_{3}=0\Rightarrow x_{3}=0; então x_{2}=0; x_{1} livre. Logo vetores próprios em coordenadas são x_{1}(1,0,0). Assim o autoespaço (em coordenadas) é \operatorname{span}\{(1,0,0)\}. Em termos de polinômios (voltando da base C para polinômio): o vetor coordenado (1,0,0) corresponde a 1. Portanto o autoespaço associado a \lambda=1 é
\operatorname{span}\{1\}.
  1. Para \lambda=2: A-2I=\begin{pmatrix}-1 & -3 & 12\\[4pt]0 & 0 & -6\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
    Dessas equações vem 2x_{3}=0\Rightarrow x_{3}=0. Então da segunda linha -6x_{3}=0 é satisfeita; da primeira linha -x_{1}-3x_{2}=0\Rightarrow x_{1}=-3x_{2}. Logo vetores próprios têm a forma x_{2}(-3,1,0). Em polinômios, (-3,1,0) em base C representa
-3\cdot 1 +1\cdot(2+x) = -3+2+x = x-1.
Portanto o autoespaço para \lambda=2 é
\operatorname{span}\{\,x-1\,\}.
  1. Para \lambda=4: A-4I=\begin{pmatrix}-3 & -3 & 12\\[4pt]0 & -2 & -6\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
    Da segunda linha -2x_{2}-6x_{3}=0\Rightarrow x_{2}=-3x_{3}. Da primeira linha -3x_{1}-3x_{2}+12x_{3}=0 que reduz a x_{1}=7x_{3}. Portanto vetores próprios são x_{3}(7,-3,1). Em polinômios, (7,-3,1) em base C representa
7\cdot 1 +(-3)\cdot(2+x) +1\cdot(x+x^{2}) = 7-6-3x +x +x^{2} = 1-2x+x^{2}=(x-1)^{2}.
Logo o autoespaço para \lambda=4 é
\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
Observação: todos os autoespaços têm dimensão 1 porque os autovalores são distintos.]

Passo 8

(e) Quais são os autovalores de T?
Explicação: os autovalores de uma transformação linear são independentes da base escolhida; qualquer matriz representação terá os mesmos autovalores (contando multiplicidade). Portanto os autovalores de T são os mesmos listados acima:
1,\;2,\;4.

Passo 9

(f) Determinar todos os autoespaços de T.
Como os autoespaços em termos dos polinômios não dependem da base, já os obtivemos no Passo 7. Assim os autoespaços de T são:
\operatorname{Eig}(1)=\operatorname{span}\{1\},\qquad \operatorname{Eig}(2)=\operatorname{span}\{x-1\},\qquad \operatorname{Eig}(4)=\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.

Passo 10

(g) Determinar \ker(T) e sua dimensão.
Se p\in\ker(T) então p(2x-1)=0 para todo x\in\mathbb{C}. Fazendo a mudança de variável y=2x-1 (mapeamento afim bijetivo de \mathbb{C} em \mathbb{C}), obtemos p(y)=0 para todo y\in\mathbb{C}. Logo p é o polinômio zero. Assim
\ker(T)=\{0\}
e \dim(\ker(T))=0.

Passo 11

(h), (i), (j) Injetividade, sobrejetividade e se T é um isomorfismo.
  • Injetividade: \ker(T)=\{0\} implica que T é injetora. Logo resposta: sim, T é injetora.
  • Sobrejetividade: em espaços vetoriais de dimensão finita, para um endomorfismo linear injetivo implica ser sobrejetivo. Alternativamente, existe inversa explícita: a aplicação S:P_{2}[\mathbb{C}]\to P_{2}[\mathbb{C}] dada por S(q)(x)=q\bigl((x+1)/2\bigr) satisfaz S\circ T=\operatorname{Id} e T\circ S=\operatorname{Id}. Assim T é sobrejetora.
  • Isomorfismo: como T é linear, injetora e sobrejetora, T é um isomorfismo.

Passo 12

(k) Determinar a matriz de T na base B=\{1,x,x^{2}\}.
Calcular imagens e coordenadas na base B.
  • T(1)=1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B}.
  • T(x)=2x-1 tem coordenadas \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}_{B} (constante -1, coef de x é 2).
  • T(x^{2})=(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1 tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 4\end{pmatrix}_{B}.
Montando as colunas:
[T]_{B}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 13

(l) Autovalores de [T]_{B}.
Como [T]_{B} é triangular superior, os autovalores são as entradas da diagonal:
1,\;2,\;4.

Passo 14

(m) Autoespaços de [T]_{B}.
Resolver ( [T]_{B}-\lambda I)v=0 dá, como antes, espaços unidimensionais gerados pelos mesmos polinômios:
  • Para \lambda=1: autovetores (coordenadas) (1,0,0) que corresponde a 1. Então \operatorname{span}\{1\}.
  • Para \lambda=2: autovetores (coordenadas) (-1,1,0) que corresponde a x-1. Então \operatorname{span}\{x-1\}.
  • Para \lambda=4: autovetores (coordenadas) (1,-2,1) que corresponde a (x-1)^{2}. Então \operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.

Passo 15

(n) Calcular T(3+2x-x^{2}).
Tomar p(x)=3+2x-x^{2}. Então
T(p)(x)=p(2x-1)=3+2(2x-1)-(2x-1)^{2}.
Calcular passo a passo:
3+4x-2 -(4x^{2}-4x+1)=1+4x-4x^{2}+4x-1 =8x-4x^{2}.
Portanto T(3+2x-x^{2})=8x-4x^{2}.

Resposta

(a) T é \mathbb{C}-linear.
(b) [T]_{C}=\begin{pmatrix}1 & -3 & 12\\[4pt]0 & 2 & -6\\[4pt]0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
(c) Autovalores de [T]_{C}: 1,\;2,\;4.
(d) Autoespaços de [T]_{C}: \operatorname{span}\{1\},\;\operatorname{span}\{x-1\},\;\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
(e) Autovalores de T: 1,\;2,\;4.
(f) Autoespaços de T: \operatorname{span}\{1\},\;\operatorname{span}\{x-1\},\;\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
(g) \ker(T)=\{0\}, \dim(\ker(T))=0.
(h) T é injetora: sim.
(i) T é sobrejetora: sim.
(j) T é um isomorfismo: sim.
(k) [T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt]0 & 2 & -4\\[4pt]0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
(l) Autovalores de [T]_{B}: 1,\;2,\;4.
(m) Autoespaços de [T]_{B}: \operatorname{span}\{1\},\;\operatorname{span}\{x-1\},\;\operatorname{span}\{(x-1)^{2}\}.
(n) T(3+2x-x^{2})=8x-4x^{2}.]

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