Determine todos os autovalores e todos os autoespaços da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 1 \\\\ -2 & 7 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)
Sobre \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 1\\[4pt] -2 & 7 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para determinar todos os autovalores (eigenvalues) e todos os autoespaços (eigenspaces) de A sobre \mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A é quadrada 3\times3.
  • É pedido:
    • todos os autovalores \lambda reais tais que \det(A-\lambda I)=0;
    • para cada autovalor \lambda encontrar o autoespaço E_\lambda=\ker(A-\lambda I) (uma base para esse espaço).]

Passo 2

Cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I). Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 4-\lambda & -2 & 1\\[4pt] -2 & 7-\lambda & 0\\[4pt] 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante expandindo pela primeira linha (mostrar as contas passo a passo):
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)\det\begin{pmatrix}7-\lambda & 0\\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix} -(-2)\det\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 7-\lambda\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Cada menor:
\det\begin{pmatrix}7-\lambda & 0\\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix}=-(7-\lambda)\lambda,
\det\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=(-2)(-\lambda)-0=2\lambda,
\det\begin{pmatrix}-2 & 7-\lambda\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}=(-2)\cdot 0-(7-\lambda)\cdot 1=-(7-\lambda)=\lambda-7.
Substituindo:
\det(A-\lambda I)=(4-\lambda)\bigl(-\lambda(7-\lambda)\bigr)+2\cdot(2\lambda)+(\lambda-7).
Desenvolvendo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(4-\lambda)(7-\lambda)+4\lambda+\lambda-7.
Expandindo e simplificando obtemos o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+11\lambda^2-23\lambda-7.
Multiplicando por -1 (para ficar coeficiente líder positivo) temos a forma usual
p(\lambda)=\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7.
Os autovalores são as soluções reais de p(\lambda)=0.]

Passo 3

Procurando raízes racionais simples: pelas divisórias de 7 testam-se \pm1,\pm7. Testes rápidos mostram que nenhum desses é raiz de p(\lambda). Como A é simétrica real (verificar A^T=A), todos os autovalores são reais, portanto p(\lambda) tem três raízes reais (possivelmente irracionais).
Vamos localizar numericamente as três raízes reais usando argumentos de sinal e refinamento (método de Newton/ bissecção) — aqui explico o método de forma simples:
  • Primeiro, achar intervalos onde p(\lambda) muda de sinal (garantia, pelo teorema do valor intermediário, de existência de raiz no intervalo).
  • Depois, refinar com Newton: dado chute x_0, a iteração de Newton é x_{n+1}=x_n-\dfrac{p(x_n)}{p'(x_n)}, onde p'(\lambda)=3\lambda^2-22\lambda+23.
Localizações iniciais por avaliação:
p(0)=7>0,\quad p(-0{,}5)\approx-7{,}375<0
logo existe uma raiz entre -0{,}5 e 0. Refinando por Newton obtemos a raiz aproximada
\lambda_1\approx -0{,}268915.
Outros sinais:
p(3)=4>0,\quad p(4)=-13<0
há uma raiz entre 3 e 4; refinando por Newton chegamos a
\lambda_2\approx 3{,}242965.
Finalmente, como a soma das raízes é 11 (coeficiente -11 em p), a terceira raiz é
\lambda_3=11-(\lambda_1+\lambda_2)\approx 11-(-0{,}268915+3{,}242965)\approx 8{,}02595.
Resumo numérico com 3 casas decimais (suficiente para aplicações práticas):
\lambda_1\approx -0{,}269,\qquad \lambda_2\approx 3{,}243,\qquad \lambda_3\approx 8{,}026.
Observação didática rápida: para uma matriz simétrica real, ter três autovalores reais e distintos implica que cada autoespaço tem dimensão 1 (autovalores simples).

Passo 4

Determinar os autoespaços. Vamos resolver (A-\lambda I)v=0\) de forma sistemática para autovalor genérico \(\lambda\) (isso evita refazer a conta três vezes): escrevendo \(v=(x,y,z)^T\), o sistema é \[\begin{cases} (4-\lambda)x-2y+z=0,\\[4pt] -2x+(7-\lambda)y=0,\\[4pt] x-\lambda z=0. \end{cases}
Da terceira equação temos diretamente
x=\lambda z.
Substituindo na segunda equação:
-2(\lambda z)+(7-\lambda)y=0 \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{2\lambda}{7-\lambda}\,z,
desde que \lambda\neq 7\]. Note que \(\lambda=7 não é raiz de p(\lambda), logo não precisamos tratar esse caso separado para os autovalores reais encontrados.
Substituindo x e y expressos por z na primeira equação dá uma identidade (pois \lambda foi obtido do determinante), então z pode ser tomado como parâmetro livre (não zero para obter um vetor próprio).
Portanto um vetor próprio correspondente a um autovalor \lambda pode ser escolhido como
v(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda z\\[4pt]\dfrac{2\lambda}{7-\lambda}z\\[4pt] z\end{pmatrix} =z\begin{pmatrix}\lambda\\[4pt]\dfrac{2\lambda}{7-\lambda}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Multiplicando por 7-\lambda (para eliminar a fração) obtemos uma forma inteira proporcional:
v(\lambda)\propto\begin{pmatrix}\lambda(7-\lambda)\\[4pt]2\lambda\\[4pt]7-\lambda\end{pmatrix}.
Conclusão importante: para cada autovalor \lambda (com \lambda\neq7) o autoespaço E_\lambda é a reta gerada por \bigl(\lambda(7-\lambda),\,2\lambda,\,7-\lambda\bigr)^T. Como os autovalores são distintos, cada autoespaço é unidimensional.]

Passo 5

Aplicando a fórmula para os três autovalores encontrados:
Para \lambda_1\approx -0{,}268915 temos (usando a forma sem frações)
v_1\approx\begin{pmatrix}\lambda_1(7-\lambda_1)\\[4pt]2\lambda_1\\[4pt]7-\lambda_1\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}-1{,}9552\\[4pt]-0{,}53783\\[4pt]7{,}268915\end{pmatrix}.
Assim
E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-1{,}9552\\[4pt]-0{,}53783\\[4pt]7{,}268915\end{pmatrix}\right\}.
Para \lambda_2\approx 3{,}242965:
v_2\approx\begin{pmatrix}3{,}242965\cdot(7-3{,}242965)\\[4pt]2\cdot 3{,}242965\\[4pt]7-3{,}242965\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}12{,}1789\\[4pt]6{,}48593\\[4pt]3{,}757035\end{pmatrix},
então
E_{\lambda_2}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}12{,}1789\\[4pt]6{,}48593\\[4pt]3{,}757035\end{pmatrix}\right\}.
Para \lambda_3\approx 8{,}02595:
v_3\approx\begin{pmatrix}8{,}02595\cdot(7-8{,}02595)\\[4pt]2\cdot 8{,}02595\\[4pt]7-8{,}02595\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}-8{,}2266\\[4pt]16{,}0519\\[4pt]-1{,}02595\end{pmatrix},
então
E_{\lambda_3}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}-8{,}2266\\[4pt]16{,}0519\\[4pt]-1{,}02595\end{pmatrix}\right\}.
Observação final: os vetores acima são apenas escalas (bases) dos autoespaços; qualquer múltiplo não nulo fornece a mesma reta. Também se preferir respostas exatas, pode-se dizer que os autovalores são as três raízes reais do polinômio
\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7=0,
e os autoespaços são E_\lambda=\operatorname{span}\{(\lambda(7-\lambda),\,2\lambda,\,7-\lambda)\} avaliados em cada raiz \lambda.]

Resposta

\lambda são as três raízes reais da equação \lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7=0, numericamente
\lambda_1\approx -0{,}269,\\ \lambda_2\approx 3{,}243,\\ \lambda_3\approx 8{,}026.
E_{\lambda_1}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-1{,}9552\\[4pt]-0{,}53783\\[4pt]7{,}268915\end{pmatrix}\right\}
E_{\lambda_2}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}12{,}1789\\[4pt]6{,}48593\\[4pt]3{,}757035\end{pmatrix}\right\}
E_{\lambda_3}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}-8{,}2266\\[4pt]16{,}0519\\[4pt]-1{,}02595\end{pmatrix}\right\}]

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