Multiplicando por -1 (para ficar coeficiente líder positivo) temos a forma usual
p(\lambda)=\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7.
Os autovalores são as soluções reais de p(\lambda)=0.]
Passo 3
Procurando raízes racionais simples: pelas divisórias de 7 testam-se \pm1,\pm7. Testes rápidos mostram que nenhum desses é raiz de p(\lambda). Como A é simétrica real (verificar A^T=A), todos os autovalores são reais, portanto p(\lambda) tem três raízes reais (possivelmente irracionais).
Vamos localizar numericamente as três raízes reais usando argumentos de sinal e refinamento (método de Newton/ bissecção) — aqui explico o método de forma simples:
Primeiro, achar intervalos onde p(\lambda) muda de sinal (garantia, pelo teorema do valor intermediário, de existência de raiz no intervalo).
Depois, refinar com Newton: dado chute x_0, a iteração de Newton é x_{n+1}=x_n-\dfrac{p(x_n)}{p'(x_n)}, onde p'(\lambda)=3\lambda^2-22\lambda+23.
Localizações iniciais por avaliação:
p(0)=7>0,\quad p(-0{,}5)\approx-7{,}375<0
logo existe uma raiz entre -0{,}5 e 0. Refinando por Newton obtemos a raiz aproximada
\lambda_1\approx -0{,}268915.
Outros sinais:
p(3)=4>0,\quad p(4)=-13<0
há uma raiz entre 3 e 4; refinando por Newton chegamos a
\lambda_2\approx 3{,}242965.
Finalmente, como a soma das raízes é 11 (coeficiente -11 em p), a terceira raiz é
Observação didática rápida: para uma matriz simétrica real, ter três autovalores reais e distintos implica que cada autoespaço tem dimensão 1 (autovalores simples).
Passo 4
Determinar os autoespaços. Vamos resolver (A-\lambda I)v=0\) de forma sistemática para autovalor genérico \(\lambda\) (isso evita refazer a conta três vezes): escrevendo \(v=(x,y,z)^T\), o sistema é
\[\begin{cases} (4-\lambda)x-2y+z=0,\\[4pt] -2x+(7-\lambda)y=0,\\[4pt] x-\lambda z=0. \end{cases}
desde que \lambda\neq 7\]. Note que \(\lambda=7 não é raiz de p(\lambda), logo não precisamos tratar esse caso separado para os autovalores reais encontrados.
Substituindo x e y expressos por z na primeira equação dá uma identidade (pois \lambda foi obtido do determinante), então z pode ser tomado como parâmetro livre (não zero para obter um vetor próprio).
Portanto um vetor próprio correspondente a um autovalor \lambda pode ser escolhido como
Conclusão importante: para cada autovalor \lambda (com \lambda\neq7) o autoespaço E_\lambda é a reta gerada por \bigl(\lambda(7-\lambda),\,2\lambda,\,7-\lambda\bigr)^T. Como os autovalores são distintos, cada autoespaço é unidimensional.]
Passo 5
Aplicando a fórmula para os três autovalores encontrados:
Para \lambda_1\approx -0{,}268915 temos (usando a forma sem frações)
Observação final: os vetores acima são apenas escalas (bases) dos autoespaços; qualquer múltiplo não nulo fornece a mesma reta. Também se preferir respostas exatas, pode-se dizer que os autovalores são as três raízes reais do polinômio
\lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7=0,
e os autoespaços são E_\lambda=\operatorname{span}\{(\lambda(7-\lambda),\,2\lambda,\,7-\lambda)\} avaliados em cada raiz \lambda.]
Resposta
\lambda são as três raízes reais da equação \lambda^3-11\lambda^2+23\lambda+7=0, numericamente \lambda_1\approx -0{,}269,\\ \lambda_2\approx 3{,}243,\\ \lambda_3\approx 8{,}026.