Considere o arranjo de uma polia A de 3 kg com outra B de 10 kg . Se um bloco de 2 kg , suspenso por uma corda, é abandonado a partir do repouso, determine a sua velocidade após ter descido 0,5 \mathrm{~m}. Despreze a massa da corda e considere as polias como discos finos. Não há escorregamento.

Passo 1

O enunciado diz que um bloco de massa 2\rm\;kg é solto de repouso e desce de 0{,}5\rm\;m. Ele está ligado a duas polias, A de 3\rm\;kg e B de 10\rm\;kg, consideradas discos finos (cada qual com momento de inércia I=\tfrac12 mR^2). Desprezamos massa da corda e não há escorregamento, de modo que a velocidade de translação do bloco v está relacionada à velocidade angular de cada polia por \omega=v/R. Vamos usar conservação de energia mecânica incluindo energia rotacional.

Passo 2

O bloco perde energia potencial
\Delta E_p = m_{\rm bloco}\,g\,h = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 9{,}8\rm\;J.

Passo 3

Na descida, surge energia cinética translacional do bloco e energia cinética rotacional de cada polia.
  • Bloco:
K_{\rm bloco}=\frac12\,m_{\rm bloco}\,v^2 = \frac12\cdot 2\,v^2 = v^2.
  • Cada polia fina (A ou B) tem
I = \tfrac12\,m_{\rm polia}\,R^2, \quad K_{\rm rot} = \tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\bigl(\tfrac12m_{\rm polia}R^2\bigr)\frac{v^2}{R^2} = \frac14\,m_{\rm polia}\,v^2.
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K_{\rm A}=\frac14\cdot 3\,v^2 = 0{,}75\,v^2, \quad K_{\rm B}=\frac14\cdot 10\,v^2 = 2{,}5\,v^2.

Passo 4

Conservação de energia mecânica ( \Delta E_p = K_{\rm bloco}+K_{\rm A}+K_{\rm B}) dá
9{,}8 = \bigl(1 + 0{,}75 + 2{,}5\bigr)\,v^2 = 4{,}25\,v^2.

Passo 5

Isolando v,
v^2 = \frac{9{,}8}{4{,}25} \approx 2{,}3059, \quad v \approx 1{,}52\rm\;m/s.

Resposta

A velocidade do bloco após descer 0{,}5\rm\;m é aproximadamente 1{,}52\rm\;m/s.

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