Um tubo de liga de alumínio com diâmetro externo de 3,50 in (88,9 mm ) e espessura de parede de 0,30 \mathrm{in}(7,62 \mathrm{~mm}) é usado como coluna com 14 \mathrm{ft}(4,27 \mathrm{~m}) de comprimento. Admita que E=10.000 \mathrm{ksi}(68,9 \mathrm{GPa}) e que são usados apoios com pinos em cada extremidade da coluna. Determine o índice de esbeltez e a carga de flambagem para a coluna.

Passo 1

O enunciado pede o índice de esbeltez e a carga de flambagem (Euler) de uma coluna tubular de liga de alumínio com diâmetro externo D=3,50,in, espessura de parede t=0,30,in e comprimento L=14,ft. Como ela está engastada por pinos em ambas as extremidades, usamos o comprimento efetivo L_e=K\,L com K=1. Vamos precisar das propriedades de área, momento de inércia, raio de giração e, por fim, aplicar a fórmula de Euler:
P_\text{cr} \;=\;\frac{\pi^2 E I}{(L_e)^2}
onde E=10\,000,ksi.

Passo 2

Calcular a seção transversal interna e externa, a área A e o momento de inércia I.
O diâmetro interno é
d = D - 2\,t = 3,50 - 2\cdot0,30 = 2,90\text{ in}.
A área da seção tubular vale
A = \frac{\pi}{4}\Bigl(D^2 - d^2\Bigr) = \frac{\pi}{4}\bigl(3,50^2 - 2,90^2\bigr) = 0,7854\,(12,25 - 8,41) \approx 3,015\text{ in}^2.
O momento de inércia em relação ao eixo neutro é
I = \frac{\pi}{64}\Bigl(D^4 - d^4\Bigr) = \frac{\pi}{64}\bigl(3,50^4 - 2,90^4\bigr) \approx 3,892\text{ in}^4.

Passo 3

Determinar o raio de giração r e o índice de esbeltez \lambda.
O raio de giração satisfaz
r = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{3,892}{3,015}} \approx 1,136\text{ in}.
Como L_e = L = 14,ft =168,in, o índice de esbeltez é
\lambda = \frac{L_e}{r} = \frac{168}{1,136} \approx 148.

Passo 4

Calcular a carga crítica de flambagem pelo critério de Euler:
P_\text{cr} = \frac{\pi^2\,E\,I}{(L_e)^2} = \frac{\pi^2 \times 10\,000\;\text{ksi}\times 3,892\;\text{in}^4}{(168\;\text{in})^2}.
Convertendo E em unidades compatíveis ( 1,ksi =1,kip/in ^2),
P_\text{cr} = \frac{9,8696 \times 10\,000 \times 3,892}{168^2}\;\text{kip} \approx 13,6\;\text{kip}.

Resposta

Índice de esbeltez: \lambda \approx 148
Carga crítica de flambagem: P_\text{cr}\approx 13{,}6,kip

Exercícios relacionados