Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de
60
\mathrm{R}
milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
ser menor que
45$ milhares?
ser menor que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A arrecadação segue uma distribuição normal com média
(em milhares de reais). - Desvio padrão
(em milhares de reais).
A pergunta que precisamos responder é: - Qual a probabilidade da arrecadação ser menor que
milhares de reais? Ou seja, calcular quando com os valores acima.
Passo 2
Ideia geral (em linguagem simples): para achar probabilidades em uma normal com qualquer média e desvio padrão, a técnica padrão é transformar (padronizar) a variável em uma normal padrão, que tem média
e desvio
. A normal padrão é chamada de
e suas probabilidades são tabeladas (ou obtidas por calculadora). A padronização permite usar essas tabelas.
Passo 3
Fórmula da padronização (explicando cada parte):
Onde:
-
é a variável original (arrecadação, em milhares). -
é a média da distribuição (aqui ). -
é o desvio padrão (aqui ).
O resultadoé quantos desvios-padrão o valor está acima (se positivo) ou abaixo (se negativo) da média.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
:
Isso significa que
está
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 5
Agora traduzimos a probabilidade usando
:
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: para qualquer
,
ou mais diretamente
e
, onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 6
Consultando uma tabela da normal padrão ou usando calculadora, o valor da função acumulada para
é aproximadamente
Pelo item anterior,
Passo 7
Interpretação final em palavras: a probabilidade de a arrecadação ser menor que
milhares é cerca de
. Ou seja, é um evento relativamente raro (posição
desvios-padrão abaixo da média).