Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de \mathrm{R} 60 milhares e desvio padrão deã\mathrm{R} 10 milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
ser menor que \mathrm{R} 45$ milhares?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A arrecadação segue uma distribuição normal com média \mu = 60 (em milhares de reais).
  • Desvio padrão \sigma = 10 (em milhares de reais).
    A pergunta que precisamos responder é:
  • Qual a probabilidade da arrecadação ser menor que \,45 milhares de reais? Ou seja, calcular \Pr(X<45) quando X\sim N(\mu,\sigma^2) com os valores acima.

Passo 2

Ideia geral (em linguagem simples): para achar probabilidades em uma normal com qualquer média e desvio padrão, a técnica padrão é transformar (padronizar) a variável em uma normal padrão, que tem média 0 e desvio 1. A normal padrão é chamada de Z e suas probabilidades são tabeladas (ou obtidas por calculadora). A padronização permite usar essas tabelas.

Passo 3

Fórmula da padronização (explicando cada parte):
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Onde:
  • X é a variável original (arrecadação, em milhares).
  • \mu é a média da distribuição (aqui \mu=60).
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=10).
    O resultado Z é quantos desvios-padrão o valor X está acima (se positivo) ou abaixo (se negativo) da média.

Passo 4

Aplicando a fórmula para X=45:
z=\frac{45-60}{10}=\frac{-15}{10}=-1,5.
Isso significa que 45 está 1,5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 5

Agora traduzimos a probabilidade usando Z:
\Pr(X<45)=\Pr\!\bigg(Z< -1,5\bigg).
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: para qualquer a>0,
\Pr(Z<-a)=1-\Pr(Z<a)=1-\Phi(a),
ou mais diretamente \Pr(Z<-a)=\Phi(-a) e \Phi(-a)=1-\Phi(a), onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 6

Consultando uma tabela da normal padrão ou usando calculadora, o valor da função acumulada para 1,5 é aproximadamente
\Phi(1,5)=0,9332.
Pelo item anterior,
\Pr(Z<-1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668.

Passo 7

Interpretação final em palavras: a probabilidade de a arrecadação ser menor que \,45 milhares é cerca de 6{,}68\%. Ou seja, é um evento relativamente raro (posição 1{,}5 desvios-padrão abaixo da média).

Resposta

0,0668 (aproximadamente 6{,}68\%)

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