Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de \mathrm{R} 60 milhares e desvio padrão deã\mathrm{R} 10 milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
estar entre \mathrm{R} 50 e\mathrm{R} 70 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Informação: a arrecadação de tributos do município tem distribuição normal com média \mu = 60 (em milhares de Reais) e desvio padrão \sigma = 10 (em milhares de Reais).
  • Pergunta: qual a probabilidade da arrecadação estar entre \mathrm{R}\\\ 50 e \mathrm{R}\\\ 70? Ou seja, calcular P(50 \le X \le 70), onde X representa a arrecadação (em milhares).

Passo 2

Explicação didática do conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • A distribuição normal é descrita por uma média \mu (o centro) e um desvio padrão \sigma (a “largura” da curva). A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é geralmente denotada por \Phi(z) e dá P(Z \le z) quando Z é uma normal padrão com média 0 e desvio 1.
  • Para usar tabelas ou valores conhecidos, transformamos qualquer normal X\sim N(\mu,\sigma^2) em uma normal padrão Z com a fórmula de padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (arrecadação),
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z é a nova variável com média 0 e desvio 1.

Passo 3

Aplicar a padronização aos limites do intervalo pedido.
  • Calcular o valor padronizado correspondente a X=50:
z_1 = \frac{50-60}{10} = \frac{-10}{10} = -1.
  • Calcular o valor padronizado correspondente a X=70:
z_2 = \frac{70-60}{10} = \frac{10}{10} = 1.
Portanto
P(50 \le X \le 70) = P(-1 \le Z \le 1).

Passo 4

Converter a probabilidade em termos da função \Phi e usar simetria da normal padrão.
  • Em termos da CDF \Phi:
P(-1 \le Z \le 1) = \Phi(1) - \Phi(-1).
  • A normal padrão é simétrica em torno de zero, então \Phi(-1) = 1 - \Phi(1). Substituindo:
\Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1-\Phi(1)) = 2\Phi(1)-1.
  • O valor tabelado (ou de calculadora) é \Phi(1) \approx 0,8413. (Se não decorar, pode lembrar a regra empírica “68–95–99,7”: cerca de 68{,}27\% dos valores caem dentro de \pm1 desvio padrão.)

Passo 5

Cálculo final numérico e interpretação.
P(50 \le X \le 70) = 2\cdot 0,8413 - 1 = 1,6826 - 1 = 0,6826.
Isto é, a probabilidade é aproximadamente 0,6826, ou seja, cerca de 68{,}26\%. Portanto, há aproximadamente 68{,}26\% de chance de a arrecadação estar entre \mathrm{R}\\\ 50 e \mathrm{R}\\\ 70.

Resposta

P(50 \le X \le 70)=0,6826\approx68,26\%

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