Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de
60
\mathrm{R}
milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
estar entre
50
\mathrm{R}
?
estar entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Informação: a arrecadação de tributos do município tem distribuição normal com média
(em milhares de Reais) e desvio padrão (em milhares de Reais). - Pergunta: qual a probabilidade da arrecadação estar entre
e ? Ou seja, calcular , onde representa a arrecadação (em milhares).
Passo 2
Explicação didática do conceito que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- A distribuição normal é descrita por uma média
(o centro) e um desvio padrão (a “largura” da curva). A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é geralmente denotada por e dá quando é uma normal padrão com média e desvio . - Para usar tabelas ou valores conhecidos, transformamos qualquer normal
em uma normal padrão com a fórmula de padronização:
Aqui:
-
é a variável original (arrecadação), -
é a média, -
é o desvio padrão, -
é a nova variável com média e desvio .
Passo 3
Aplicar a padronização aos limites do intervalo pedido.
- Calcular o valor padronizado correspondente a
:
- Calcular o valor padronizado correspondente a
:
Portanto
Passo 4
Converter a probabilidade em termos da função
e usar simetria da normal padrão.
- Em termos da CDF
:
- A normal padrão é simétrica em torno de zero, então
. Substituindo:
- O valor tabelado (ou de calculadora) é
. (Se não decorar, pode lembrar a regra empírica “68–95–99,7”: cerca de dos valores caem dentro de desvio padrão.)
Passo 5
Cálculo final numérico e interpretação.
Isto é, a probabilidade é aproximadamente
, ou seja, cerca de
. Portanto, há aproximadamente
de chance de a arrecadação estar entre
e
.